Supongo que estás familiarizado con los vectores. Estos generalmente se introducen como cantidades que tienen tanto magnitud como dirección. Esta es una especie de definición descuidada, ya que puede verificar que la corriente eléctrica que fluye en un cable cumple estos dos criterios pero aún no es un vector. Para ser considerado un vector, una cantidad debe transformarse como un vector (o tensor de primer rango). Esto puede parecer peligrosamente circular al principio, pero permítame explicarle a qué me refiero con “transformar como un vector”.
En 3 dimensiones, un vector v se define correctamente como una cantidad definida por 3 números, denotados [math] v_1, v_2, v_3 [/ math] (aunque dije 3 dimensiones, esto puede generalizarse a n dimensiones). Estos números son sus componentes en un determinado sistema de coordenadas definido en el espacio.
Ahora, las propiedades físicamente relevantes de un vector, por ejemplo, su magnitud, deben permanecer invariantes en las rotaciones del sistema de coordenadas, sobre su origen predeterminado. Esto impone ciertas restricciones estrictas sobre la naturaleza de los tres números que definen el vector en cualquier sistema de coordenadas dado. Llamemos también a los ejes x, y, z según la convención.
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Consideremos una rotación sobre el eje z, entonces el componente [math] v_3 [/ math] permanece sin cambios. Las coordenadas antiguas (x, y) y nuevas (x ‘, y’) están relacionadas como [math] x ‘= x \ cos \ theta + y \ sin \ theta [/ math] y [math] y’ = – x \ sin \ theta + y \ cos \ theta [/ math]. Esto también puede representarse como [math] (x ‘, y’) ^ T = \ mathbf {T} (x, y) ^ T [/ math], donde T es la matriz de transformación que se puede escribir fácilmente desde el por encima de par de ecuaciones lineales.
Entonces, bajo estas circunstancias, v se llama vector (contravariante) si se transforma por la misma matriz de transformación T que el vector de posición [math] (x, y) ^ T [/ math], es decir [math] (v_ {2 } ‘, v_ {3}’) ^ T = \ mathbf {T} (v_ {2}, v_ {3}) ^ T [/ math].
Existe otro tipo de vector, que se conoce como covector. Se transforma como [math] (v_ {2} ‘, v_ {3}’) ^ T = \ mathbf {T} ^ {- 1} (v_ {2}, v_ {3}) ^ T [/ math], siendo la matriz de transformación la inversa de la del vector de posición [math] (x, y) ^ T [/ math].
Los tensores, en general, son cantidades indexadas, al igual que los vectores como se describió anteriormente. Un n tensor de rango se describe mediante n índices, por ejemplo, un vector es un tensor de primer rango, ya que se describe mediante un índice único. Una definición similar se extiende a los tensores: un tensor contravariante es uno cuyas componentes se transforman como las del vector de posición, mientras que el tensor covariante es uno que se transforma a través de la matriz inversa a la del vector de posición.
Todo esto puede ser más preciso. Para una buena introducción a los tensores, debe revisar el texto de RA Sharipov [1] en el mismo.
Notas al pie
[1] [math / 0403252] Introducción rápida al análisis de tensor
