Por supuesto, está la no respuesta “depende de lo que esté haciendo el matemático”. Pero eso parece … inútil.
Creo que la mecánica clásica presta mucha información a la geometría diferencial (y viceversa), más específicamente a la geometría simpléctica. Pero no la física 101, formulación newtoniana de la mecánica clásica. En cambio, la formulación hamiltoniana / lagrangiana. Obtienes resultados que son poderosos tanto para matemáticos como para físicos, como el teorema de Noether. Un excelente libro que, para mí, presenta la combinación perfecta de matemáticas y física en esta área es Métodos matemáticos de la mecánica clásica | Arnol’d VI | Saltador.
Y, por supuesto, la relatividad general se solapa fuertemente con la geometría riemanniana.
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La electricidad y el magnetismo también pueden iluminar (¡ja!) Geometría diferencial. Hay un maravilloso libro de John Baez: Gauge Fields, Knots and Gravity. El Capítulo 1 formula el electromagnetismo en el espacio-tiempo curvo y está repleto de información matemática / física.
Fuera de un contexto geométrico, la mecánica cuántica básica informa mucha teoría del operador. Los espacios de Hilbert se convirtieron en suyos cuando Von Neumann expuso la formulación matemática de la mecánica cuántica actual. (¿Alguna vez se pregunta por qué el “espectro” de un operador se llama espectro?) Para cualquier matemático que trabaje con la teoría del operador o las álgebras de operadores, parece útil un poco de mecánica cuántica.
Por supuesto, hay otras conexiones con otras áreas de las matemáticas y la física, pero los temas anteriores me parecen más fuertes.
