He hecho estas preguntas muchas veces antes cuando estaba estudiando matemáticas por mi cuenta. Lo he publicado hace varios años en Matemáticas stackexchange aquí
Aunque hay buenas respuestas allí, me daré una respuesta de acuerdo con mi pequeña experiencia con las matemáticas.
Primero, hay algunos temas centrales que todo estudiante de matemáticas debe dominar, primero se les debe enseñar. Esto incluye: cálculo de una sola variable, cálculo de múltiples variables, cálculo vectorial y ecuaciones diferenciales ordinarias. Esos cursos enfatizan el aspecto computacional de las matemáticas. Pero en matemáticas hay algo más que simples cálculos y, por lo tanto, debería tomar un curso basado en pruebas. Tal vez un curso de análisis real sería un gran comienzo, pero hay otras opciones.
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Creo que un buen curso de álgebra lineal encaja perfectamente en este punto, así que prefiero tomar un curso de álgebra lineal antes del análisis real. Primero, el álgebra lineal es muy importante para las matemáticas y le presentará pruebas, pero creo que será más fácil que el análisis real. El álgebra lineal puede enseñarse de manera computacional y teórica, por lo que una buena elección será un curso que enfatice ambos aspectos del tema, esta será una buena transición al curso superior que está basado en pruebas porque el curso contendrá pruebas y todavía tiene un aspecto computacional y por lo tanto será intermedio. Después del álgebra lineal, creo que un curso de análisis real y un curso de álgebra abstracta (o moderno) serían excelentes. Esto es por dos razones. Ahora ya has visto algunas pruebas en tu curso de álgebra lineal y tienes bases sólidas para estudiar el álgebra abstracta, que será un curso basado en pruebas. Este será un curso importante en el que escribirá y comprenderá pruebas y desarrollará una comprensión del método axiomático y el nivel de rigor necesario en matemáticas superiores. de manera similar, este curso de análisis real será importante ya que volverá a visitar los temas que ya ha aprendido en cálculo, pero ahora desde una perspectiva más precisa y rigurosa.
Después de completar su curso de análisis real, tendrá algunas opciones, puede ir a estudiar topología general o puede estudiar análisis complejo. En álgebra, ahora puede abordar álgebra más abstracta, como la teoría de Galois (suponiendo que haya estudiado grupos, anillos y campos en su primer curso)
Creo que la topología y el análisis complejo deberían ser las buenas elecciones, especialmente la topología, ya que permitirá aprender temas más avanzados en geometría.
En esta etapa también puedes estudiar la geometría diferencial, pero como aún no la he estudiado, no puedo recomendar dónde debería estudiarse, así que lo dejo.
Creo que en esta etapa puedes decidir por ti mismo qué estudiar, después de ir tan lejos, puedes conocer el camino por ti mismo.
Ahora hay muchos temas que puedes tomar de acuerdo a tus gustos, solo daré algunos ejemplos:
- Teoría de los números: este curso se puede estudiar al principio y puedes tomarlo muy temprano si te gusta el tema y puede ser una buena transición hacia las pruebas en lugar del álgebra lineal.
- Combinatoria y teoría de los gráficos: creo que este es un tema importante sobre el que todo estudiante de matemáticas debería aprender algo. Puedes aprender combinatoria en cualquier etapa que desees, ¡tal vez incluso antes del cálculo! pero creo que será mejor tomarlo más tarde, quizás al mismo tiempo con álgebra lineal
Ahora voy a enumerar algunos temas avanzados que se enseñan más adelante en la licenciatura (por ejemplo, en el último año) o en la escuela de posgrado.
- álgebra conmutativa, teoría de los números algebraicos, teoría de categorías, álgebra homológica, topología algebraica, geometría algebraica, teoría de los números algebraicos (algunos de esos cursos requieren tomar algunos de ellos primero, por ejemplo, debe aprender álgebra conmutativa antes de la geometría algebraica y aprender algo de teoría de categorías) antes de la topología algebraica)
- Teoría de conjuntos, Introducción a la lógica matemática, Teoría de la computabilidad y decidibilidad.
- Teoría de la medida, teoría de la probabilidad (la teoría de la probabilidad debe ser posterior a la teoría de la medida, pero también puede tomar un curso introductorio antes, tal vez al mismo tiempo con el cálculo o después)
Pero creo que tengo 3 cosas que decir para ti:
1- Recomiendo tomar un curso que te presente a las pruebas y al pensamiento abstracto. En un curso de este tipo, debería aprender los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, la teoría de números y la lógica proposicional que proporcionarán muchos ejemplos de técnicas de pruebas como prueba por contradicción, etc. Creo que esto podría ser útil.
2- Más adelante, te recomiendo que tomes un curso sobre teoría de conjuntos y lógica matemática. Este curso le brindará una sólida comprensión de las bases sobre las cuales se apoyan las matemáticas. Por ejemplo, aprenderá cómo se pueden escribir las matemáticas completamente en el lenguaje de la teoría de conjuntos y aprenderá cuál es el significado preciso de la verdad y las pruebas sobre las matemáticas. tal vez esos no sean temas importantes que agreguen un conocimiento práctico para su carrera, pero le brindarán una comprensión más profunda del tema. Aprenderá algunos de esos temas en su curso de análisis y topología reales, pero creo que un curso sobre ellos será una ventaja.
Se puede tomar un curso sobre lógica matemática en cualquier etapa, pero recomiendo tomarlo después de su curso de álgebra abstracta (¿quizás incluso después de la topología?) Por dos razones:
- Serás entrenado con razonamiento abstracto y la lógica requiere mucho de ello.
- El álgebra y el análisis pueden proporcionarle algunos ejemplos de “teorías” en la lógica de primer orden y, por lo tanto, tendrá algunos ejemplos concretos en los que aplicar conceptos para asegurarse de que comprende bien el tema.
3- He mencionado muchos temas y se necesitan muchos, muchos años para aprenderlos. Yo mismo no los estudié a todos. En algún momento, tendrá intereses y debe perseguirlos. puede que te guste mucho la teoría de conjuntos y, por lo tanto, no estés dispuesto a estudiar, por ejemplo, topología algebraica y teoría de números algebraicos Así que no se te pide que estudies todos esos temas. Son solo ejemplos de los temas que puede abordar más adelante, si le gustan.
4- No mencioné ningún curso de matemáticas aplicadas. Acabo de hablar sobre el grupo de matemáticas puras. Pero si te gustan las matemáticas aplicadas, puedes estudiar algunos cursos de matemáticas aplicadas como el análisis numérico, la mecánica (mecánica newtoniana – mecánica analítica – mecánica cuántica), dinámicas no lineales y modelado, etc.
4- (¡¡Muy importante !!)
Muchas universidades ofrecen sus planes de estudio en línea. Debes revisarlas para ver qué enseñan las mejores universidades para sus estudiantes universitarios. Te daré algunos enlaces para comprobar
- plan de estudios de Oxford
2. Plan de estudios de Harvard: Esta es una lista del curso impartido en Harvard. Los cursos en el nivel 100 son de pregrado y los cursos con nivel 200 son graduados.
3. Currículo de Cambridge: Aquí encontrará algunos pdf que hablan sobre el curso exacto, textos recomendados para ellos.
4. Universidad de Berkely
5. UCLA
También puede consultar el plan de estudios MIT que se proporciona en su OCW. También puedes consultar Princeton si te gusta.
