Anticipo una variedad de respuestas a esta pregunta, porque diferentes matemáticos tienen modelos mentales muy diferentes para los conceptos matemáticos. Personalmente, soy bastante visual y tiendo a pensar más en términos de imágenes que de cálculos.
Por ejemplo, pienso en una función genérica de valor real como un gráfico de superficie sobre un dominio 1D o 2D. Pienso en múltiples y en espacios medibles como blobs genéricos, y sus subconjuntos son rebanadas o sub-blobs. Cuando imagino una secuencia de objetos, visualizo una película en la que el índice de secuencia aumenta con cada fotograma. Casi toda mi intuición para las ideas de espacio vectorial (como span, Gram-Schmidt, proyecciones, etc.) está vinculada a la imagen correspondiente en el espacio 3D. Siempre que haya formas estándar de visualizar una idea, como líneas tangentes para derivadas o área bajo la curva para integrales, las uso. Tiendo a pensar en ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales estocásticas en términos de fuerzas que actúan sobre las partículas.
A medida que acumulas modelos mentales, puedes adquirir más fácilmente nuevos o adaptar los viejos a nuevas ideas. También obtienes más intuición sobre qué aspectos de los modelos mentales son confiables para razonar sobre el sistema y cuáles son los artefactos de tu elección de visualización.
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