Los formalismos lagrangianos y hamiltonianos, como han mencionado otros respondedores, se pueden utilizar para resolver problemas en la dinámica clásica (donde se formularon originalmente), la mecánica cuántica (donde el formalismo hamiltoniano es el más utilizado), y la optimización / extremización / teoría de juegos diferenciales ( donde a menudo se utiliza el formalismo lagrangiano).
Como ingeniero, lo más probable es que las aplicaciones mecánicas clásicas sean de gran utilidad para usted, aunque la optimización de los sistemas multidimensionales con limitaciones también debe estar en su mente.
La dinámica hamiltoniana pone énfasis en la estructura del problema: aquí es donde entra en juego el soporte de Poisson (o, más generalmente, el soporte de mentira, si comienza con la reducción geométrica de los sistemas de Hamilton a sistemas más generales de Poisson). Cuando se trata de sistemas que pueden ser modelados por hamiltonianos, sus soluciones tienen una estructura simpléctica . Si necesita ver algunas soluciones, pero no es posible encontrarlas analíticamente (y, seamos realistas, esto es así en la gran mayoría de los casos), es posible que desee encontrar soluciones aproximadas por un tiempo limitado, dadas algunas condiciones iniciales. . Aquí recurre a soluciones numéricas, y hay un gran número de herramientas a su disposición para hacer esto, pero, como seguramente sabrá, algunas herramientas se adaptan mejor a ciertas tareas que otras.
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Si alguna vez intentas programar incluso un péndulo simple utilizando el método de Euler, verás que algo está mal a medida que el péndulo gana energía y comienza a oscilar más y más, cada vez más rápido hasta que el sistema explota. El problema es que el “mapa” para calcular cada paso de tiempo sucesivo tiene un determinante mayor que uno. Efectivamente, solo seguir las tangentes en el espacio de fase agrega energía a pesar de que las soluciones reales lo conservan. Para solucionar este problema, tal vez podría funcionar un método más sofisticado y preciso (¡Euler solo es de primer orden!), Pero resulta que incluso los métodos Runge-Kutta de muy alto orden no funcionan mejor en este sentido fundamental, incluso si Han sido diseñados para conservar energía. Una buena solución numérica para un sistema hamiltoniano se obtiene respetando su estructura simpléctica. Hay algunas formas de obtener mapas simplécticos numéricos (que en realidad resuelven exactamente un Hamiltoniano diferente que tiende al original en el límite de tamaño de paso de tiempo decreciente), por lo que no entraré en detalles aquí, pero el beneficio es que un simpléctico el integrador le ofrece casi todas las “primeras integrales” (muchas cantidades conservadas) de forma gratuita. La excepción es que la energía no se conserva exactamente, pero oscila alrededor de un valor medio durante mucho tiempo. Dichos integradores son más caros que, digamos, los métodos RK para una precisión equivalente por paso de tiempo, pero si necesita comprender la evolución a lo largo de los tiempos, los integradores simplécticos mantienen una integridad estructural que los métodos no simplécticos no.
La dinámica de Lagrange, como se mencionó, trata sobre la optimización de la acción, lo que lleva a la ecuación de Euler-Lagrange. Esto es equivalente a obtener las ecuaciones de Hamilton (o quizás debería ser al revés, ya que la dinámica de Lagrangian precedió a la dinámica de Hamilton), pero no enfatiza la estructura de la forma en que lo hace la dinámica de Hamilton. Tradicionalmente, el Lagrangiano es una buena manera de introducir mecánicas / dinámicas y de aprender sobre cómo se pueden aplicar restricciones para representar ciertas dinámicas (como la trayectoria del tiempo más corto entre dos puntos bajo un campo gravitacional uniforme, la braquistocrona o la trayectoria a lo largo de que todas las partículas tardan la misma cantidad de tiempo en llegar a un punto final dado, la tautocrona (por cierto, la misma curva, el cicloide, ¡como la chrachistochrone!), o cualquier otra restricción relevante). Lo que a su vez conduce a cómo el formalismo lagrangiano es útil para representar otros problemas de optimización.
Quizás lo que pierdes al no estudiarlas es tanto una variedad de herramientas como una perspectiva / visión de cómo funciona la mecánica. Por supuesto, es esencial tener una comprensión básica de ellos como métodos para resolver problemas en su campo, y tal vez eso sea suficiente para un trabajo, pero un conocimiento un tanto más profundo, hasta cierto punto, le dará una perspectiva de formas aún mejores de Acercándonos a esos problemas.
* Después de eso, dejas de ser ingeniero y te conviertes en matemático. 😉
