Cuando creas una teoría, ¿cómo desarrollas las matemáticas detrás de ella?

Suponiendo que te refieres a una teoría académica y no a una “teoría de los laicos”, debes darte cuenta de que no creas una teoría; Solo se puede trabajar con hipótesis. Las teorías se desarrollan a lo largo del tiempo sobre la base de numerosas hipótesis que se apoyan entre sí.

Dicho esto, la matemática subyacente será un soporte estadístico para la hipótesis, por ejemplo, intervalo de confianza o valor p, así como cualquier matemática “real” requerida para el estudio, por ejemplo, ecuaciones que muestren cómo se derivó un valor particular. Como parte del desarrollo y la (des) prueba de la hipótesis, se desarrollarán las matemáticas asociadas, en función de cómo se llevará a cabo el estudio.

En algunos casos, comienza por desarrollar un modelo matemático probable, o improvisa uno viejo. Consideras y reconsideras algunos parámetros. Luego intentas derivar el resultado deseado, y lo analizas.

Usted no

Si su teoría realmente necesita una explicación matemática, entonces estaría derivando su teoría con la matemática que lo asistirá a través de la derivación. De lo contrario, dudo que sea una teoría.

Lo que tienes es una hipótesis o una conjetura, no una teoría.

La impresión es que estás preguntando sobre una ‘idea’, ‘pensamiento’ o ‘hipótesis en lugar de una teoría en el sentido matemático. También parece que estás preguntando cómo representar esta idea de una manera abstracta formal, como en (pero no exclusivo) Matemáticas.
La respuesta es, depende de lo que trata tu teoría; ¿Es una teoría sobre algo matemático, económico o relacionado con la ingeniería o filosófico? Cada uno tiene su propio “lenguaje” abstracto formal que puede adquirir a través del estudio a lo largo del tiempo.
Todas las demás respuestas son muy buenas desde el punto de vista de las matemáticas y ayudan a explicar cómo podría funcionar en ese campo.

No creo que desarrolles las matemáticas detrás de una teoría. Puede desarrollar el marco matemático sobre el cual puede construir evidencia de apoyo para su hipótesis. Es decir, usted postula una hipótesis, luego diseña el marco matemático de apoyo sobre el cual construir su prueba que puede resultar en una teoría. Luego, puede recopilar los datos, que deberían reflejar las funciones matemáticas que caracterizan las relaciones dentro de los datos. Con suficiente fidelidad entre las matemáticas y los datos acumulados a lo largo del tiempo, su hipótesis puede convertirse en una teoría.

Pero la teoría no precede a la matemática.

La mayoría de los desarrolladores le dirán que nunca han necesitado las matemáticas para su trabajo, pero después de reflexionar sobre ello por un tiempo, tuve una idea. Lo que podríamos tener aquí es un problema inverso con el martillo de Malow. Ya sabes el uno: cuando tienes un martillo, todo parece un clavo. Es una metáfora para usar una herramienta favorita, incluso cuando no sea lo mejor para el trabajo en cuestión. Las matemáticas son nuestro martillo al revés. Sabemos que el martillo existe pero no sabemos cómo usarlo, por lo que incluso cuando encontramos un problema en el que nuestro martillo sería la herramienta perfecta, nunca lo consideramos seriamente. El destornillador fue lo suficientemente bueno para mi abuelo, lo fue para mi papá y lo es para mí, ¿quién necesita un martillo? El truco con las matemáticas es que la gente le tiene miedo, incluso la mayoría de los programadores, uno pensaría que no lo estaríamos, pero nosotros sí. Entonces, convertimos nuestras palabras en una profecía autocumplida. No es que no necesite matemáticas para mi trabajo, es solo que realmente no lo sé e incluso si lo hago, no sé cómo aplicarlo. Así que me las arreglé sin eso y cuando haces las cosas sin algo por un tiempo suficiente, después de un tiempo ni siquiera te das cuenta de que falta y, por lo tanto, lo necesitas aún menos: la profecía autocumplida.