¿Es posible estudiar topología y geometría diferencial sin la ayuda de ningún profesor? ¿Puedo estudiarlos usando solo libros de texto?

Puedes probar. Es probable que te topes con puntos en los que luchas o te atascas (yo lo hice). Munkres y la introducción de Dover son buenos para la topología, y el texto de Guggenheimer sobre geometría diferencial es bastante bueno. Sugiero ir a seminarios / talleres universitarios o buscar un mentor si lo estás probando por tu cuenta.

Claro, todo es posible, pero es poco probable que sea fácil, y es casi seguro que es innecesariamente ineficiente. Comunicar verbalmente las matemáticas de persona a persona con una pizarra a mano es notablemente eficaz, especialmente cuando la otra persona sabe mucho más que usted, tiene el deber singular de enseñarle y está disponible varias horas a la semana. Si eres serio con las matemáticas, te sugiero que tomes clases si es posible. Estudié ambos temas por mi cuenta; Ciertamente es posible, e incluso puede funcionar bastante bien, pero no es la mejor manera.

Si desea estudiar la topología general (conjunto de puntos), le sugiero que comience con las secciones de topología de la servilleta infinitamente grande de Chen, luego lea Munkres. Puede ir a la topología algebraica y otros temas después de eso, si así lo desea, aunque probablemente tenga que aprender algunos otros cursos básicos primero (por ejemplo, el álgebra es claramente esencial para la tooología algebraica). Para la geometría diferencial, Priestley tiene un buen libro de texto introductorio al igual que Jänich (la mayoría de sus textos son muy agradables de leer). Los cursos de geometría diferencial vienen en algunos sabores, por lo que diferentes libros pueden variar bastante sustancialmente en el contenido. Si eres particularmente capaz, saltar a los tres textos de Lee sobre variedades topológicas, variedades suaves y variedades Riemannianas, probablemente en ese orden, podría valer la pena.