Aquí hay algunos de mis trucos sobre las distribuciones de probabilidad discretas.
Binomio:
Observe de cuántas maneras puede obtener la cantidad de éxitos que desea obtener de las pruebas.
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Solo como un ejemplo simple, digamos que desea la probabilidad de obtener 2 éxitos en 4 intentos. Usaré X para el éxito y O para el fracaso.
Podrías listarlos así:
XXOO
XOXO
XOOX
OXXO
OXOX
OOXX
¿Cómo puedes hacer un seguimiento de todo eso? Usted está eligiendo cuál de las 4 posiciones (que podría tener 1,2,3,4 en su cabeza si esto ayuda) entran los 2 éxitos. Seguramente mi uso de la palabra elegir le dará una gran pista allí. Eso es [math] _4C_2 [/ math]. Eso te da la primera parte de la probabilidad. Luego, debe considerar la probabilidad de cada éxito y cada falla. Las X tendrán éxito p por definición, por lo que todo lo que no sea X debe tener probabilidad (1-p).
En mi problema de ejemplo, hubo 2 éxitos, por lo que tendrá la probabilidad p dos veces, o [math] p ^ 2 [/ math]. Todos los ensayos que no son exitosos deben ser fallos, por lo que tendrá la probabilidad (1-p) dos veces, o [math] (1-p) ^ {4-2} [/ math] 4 – 2 es el número de ensayos menos el número de éxitos, en otras palabras, el número de fracasos.
Esto se descompondría en [math] _4C_2 \ cdot p ^ 2 \ cdot (1-p) ^ {4-2} [/ math] en mi problema de muestra.
Geométrico:
Creo que este es bastante sencillo personalmente. Tienes una larga cadena de fallos, con un solo éxito al final. Si conoce el número de intentos, entonces el número de fallos será ensayos: 1, porque el último ensayo es el éxito. Alternativamente, si conoce la cantidad de fallas, la cantidad de pruebas será fallas + 1. Digamos que quiere saber la probabilidad de que el primer éxito ocurra en la 4ta prueba. 4 intentos significa 3 fracasos y 1 éxito. Por lo tanto, tienes (1-p) 3 veces, lo que da [math] (1-p) ^ 3 [/ math], luego tienes 1 éxito, lo que da p. Por lo tanto, la respuesta es [math] (1-p) ^ 3 \ cdot p [/ math]
Binomial negativo:
Al igual que Geometric, esto tiene un éxito al final. La diferencia aquí es que hay más de 1 éxito. Usted sabe dónde va 1 éxito ya que está al final, por lo tanto, los éxitos que podrían moverse son 1 menos que el número total de éxitos.
Digamos que desea la probabilidad de que el segundo éxito se produzca en la cuarta prueba.
Primero debes ver cómo puedes obtener ese resultado.
XOOX
OXOX
OOXX
Se da cuenta de que el segundo éxito se mantiene, por lo que solo se están moviendo los términos restantes. Por lo tanto, tiene el número de intentos menos uno que se puede organizar. De ellos, contendrá el número de éxitos menos 1. Así es como se obtiene el término binomial, debe restar uno porque el último término (que es un éxito) no se puede mover.
Después de considerar cómo se pueden organizar, es muy similar al cálculo para la distribución binomial. Usted conoce la cantidad de éxitos y, por lo tanto, puede averiguar la cantidad de fallas. Los éxitos tendrán probabilidad p, los fallos tendrán probabilidad (1-p).
Eso da una probabilidad de [math] _3C_1 \ cdot p ^ 2 \ cdot (1-p) ^ 2 [/ math]
Hipergeométrica:
Hay 2 grupos que se suman a un todo. Usted selecciona aleatoriamente del conjunto, sin saber si proviene del grupo de “éxito” o del grupo de “falla”.
La forma en que esto se calcula es con el conteo.
Digamos que tienes 10 hombres y 10 mujeres y seleccionas al azar a 5 personas de las 20 que más. Quieres saber la probabilidad de que tengas 2 hombres.
Primero considera la cantidad de formas en que puedes obtener los 2 machos. Los 2 hombres provienen de 10 hombres, por lo que las formas de elegirlos serían [math] _ {10} C_2 [/ math].
Para cualquier selección de machos dada, hay muchas selecciones posibles de hembras que pueden acompañarla. Por lo tanto, debemos multiplicar por cuántas maneras puede seleccionar las hembras para cada selección de machos. Como 2 eran hombres, 5-2 = 3 deben ser mujeres. El número de formas en que puede seleccionar 3 hembras es [math] _ {10} C_3 [/ math].
Multiplica esos para obtener el número total de formas en que puede elegir 2 machos y 3 hembras. [math] _ {10} C_2 \ cdot {} _ {10} C_3 [/ math].
Sin embargo, eso es solo un recuento, para que sea una probabilidad que tenga que dividir por el número total de recuentos (los que cumplen con su condición y los que no). Por lo tanto, solo necesita saber cuántas maneras de obtener 5 de cada 10 personas, no importa si son hombres o mujeres. Eso te da [math] _ {20} C_5 [/ math].
Ahora divides el 2 para obtener la probabilidad.
[math] \ dfrac {_ {10} C_2 \ cdot {} _ {10} C_3} {_ {20} C_5} = \ dfrac {225} {646} [/ math]
