¿Cuáles son algunas cosas que los estudiantes de matemáticas saben, pero otras no?

Aunque las preguntas de matemáticas son impresionantes, creo que hay respuestas más profundas a esta pregunta. Aquí hay tres ideas que obtuve de tres clases diferentes de matemáticas universitarias que dieron forma a la manera en que veo el mundo.

1. Del álgebra abstracta: la estructura se puede definir y estudiar de manera significativa en un vacío , es decir, en la ausencia total de conexiones del mundo real. Un “grupo” es una colección de entidades que se pueden combinar mediante una operación que convierte dos de las entidades en una tercera, con algunas propiedades adicionales necesarias. Aunque varios grupos pueden entenderse en términos de números, matrices, simetrías de formas, etc., un grupo no es ninguna de esas cosas: es una estructura, nada más. El estudio de los grupos hizo posible el Modelo Estándar de la física de partículas, que explica (casi) todas las interacciones de las partículas subatómicas; pero, nuevamente, estos grupos no son objetos físicos, sino estructuras matemáticas que resultan para proporcionar una descripción elegante de la física de partículas. El grupo es lo primero, y cualquier aplicación del grupo al mundo de las cosas se marca como una idea de último momento.

2. Desde la topología de conjuntos de puntos : la estructura espacial es un concepto abstracto que puede asignarse libremente a conjuntos de puntos. Tome un segmento de línea, por ejemplo. Un segmento de línea consiste en un conjunto infinito de puntos. Pero una gran bolsa de puntos no es un segmento de línea. Para convertir una gran bolsa de puntos en un segmento de línea, debe definir un orden en esos puntos, lo que incluye elegir un punto para que sea el punto más a la izquierda y uno al punto más a la derecha. Si eliges el mismo punto que el de la izquierda y el de la derecha, tienes un círculo en su lugar. De manera similar, la misma colección de puntos puede ser un cuadrado, un cilindro, un toro (donut) o una botella de Klein (no preguntar) dependiendo de qué puntos declara que están “cerca de” o “en un vecindario de” cuales otros puntos. Los puntos no tienen inherentemente una estructura espacial; La estructura espacial es una propiedad extraña que el matemático puede asignar o eliminar de un conjunto de puntos.

3. Desde sistemas dinámicos: cualquier conjunto de cantidades puede verse en un “espacio de estado” en el que sus interacciones a lo largo del tiempo pueden entenderse geométricamente. Digamos que la tasa de cambio de la temperatura del mundo es una función de la cantidad de dióxido de carbono que consumen las plantas, pero la tasa de crecimiento de la vegetación también es una función de la temperatura global. Podríamos representar la temperatura a lo largo del eje x de un gráfico y la cantidad de vegetación en el eje y. Cada punto en ese espacio bidimensional representaría un posible estado del mundo. En cada punto, podríamos dibujar una flecha que representa la velocidad y la dirección del cambio de temperatura y vegetación cuando el mundo está en ese estado. El resultado sería un “campo vectorial”, y los caminos que siguen esas flechas serían posibles “trayectorias” del clima mundial. Podríamos encontrar que en un estado particular, ni la temperatura ni la cantidad de vegetación estaban cambiando, esto sería un “punto fijo”. Podríamos encontrar que el punto fijo era “estable”, es decir, las trayectorias cercanas a él convergen en él, o que era “inestable”. Aquí hay algunas ilustraciones de campos vectoriales con puntos fijos en el medio y trayectorias cerca de esos puntos fijos:
No hace falta decir que la estabilidad de un punto fijo en el espacio de temperatura / vegetación podría tener implicaciones climáticas muy graves. Podemos aprender mucho a partir de una imagen y un análisis geométrico de un campo vectorial que no es aparente solo con las ecuaciones. Esto es lo que estudié en la escuela de posgrado, y ha configurado la forma en que entiendo el mundo.

La conjetura de Goldbach es uno de los problemas no resueltos más antiguos y mejor conocidos en la teoría de números.

Como todos sabemos en matemáticas, todas las afirmaciones requieren pruebas, pero la conjetura de Goldbach es cierta hasta ahora, pero no tiene pruebas.

De todos modos, la conjetura de Goldbach establece que cada entero par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos. Se ha demostrado que soporta hasta 4 × 10 ^ 18.

>> Aquí hay otro: hay siete problemas en matemáticas que fueron planteados por el Clay Mathematics Institute en 2000. A partir de abril de 2015, seis de los problemas siguen sin resolverse. Una solución correcta para cualquiera de los problemas tiene como resultado que el instituto otorgue un premio de US $ 1,000,000 (a veces denominado Premio Millennium). La conjetura de Poincaré fue resuelta por Grigori Perelman, pero rechazó el premio en 2010.

Puede encontrar más información en wikipedia sobre cada uno de los problemas del Premio del Milenio.

Estos son algunos datos matemáticos que son muy interesantes de conocer y aún no se mencionaron en las respuestas anteriores.

1) La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180 ° en un plano (euclidiana) pero es posible que la suma de los ángulos de un triángulo sea más o menos que la que usa una geometría de Riemann.

2) Las ecuaciones de la teoría de cuerdas utilizadas por los físicos fueron encontradas por Euler durante cientos de años antes de que la teoría de cuerdas entrara en escena.

3) Todas las demás materias requieren experimentación y observación para investigar, pero no matemáticas, porque solo necesitas pensar e imaginar.

4) Tome cualquier número natural, la mitad si es par, o tome tres veces + 1 de ese número si es impar, y continúe aplicando este proceso (por ejemplo, 3-> 10-> 5-> 16-> 8 -> 4-> 2-> 1). Encontrarás que eventualmente alcanzarás el 1 para todos los números naturales que puedas imaginar, y parece ser bastante obvio. Sin embargo, nadie ha podido probar esta conjetura en el siglo pasado (Conjetura de Collatz).

5) El número π es muy notorio y hermoso. Simplemente puede entrar en ecuaciones que nunca hubieras imaginado que tuvieran una relación con π. Por ejemplo, si toma la suma de la inversa de todos los cuadrados de los números naturales, el valor es (π ^ 2) / 6

6) Usando solo una regla y una brújula no es posible triseclar todos los ángulos. Lo que quiero decir con esto es que puede crear ángulos de 30 ° con una regla y compás pero no con un ángulo de 10 °.

7) Podemos comparar las cosas en la línea real (preservar la estructura) utilizando <,>, = pero algo así no es posible en el plano Complejo (preservar la estructura).

8) El último teorema de Fermat es verdadero, es decir, si n> 2 es un número natural, entonces no es posible encontrar números enteros a, b y c tales que
a ^ n + b ^ n = c ^ n (Este teorema no se ha probado de 1637 a 1993)

9) Tenemos una fórmula bien conocida para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática en una variable, de manera similar para cúbicos y quárticos, pero Galois demostró que no es posible obtener una fórmula general para encontrar raíces en un polinomio con un grado> 4

10) Actualmente, la mayoría de nuestras tarjetas bancarias y de crédito en línea son seguras contra la piratería debido a algunos números primos muy grandes y las aplicaciones de criptografía.

11) Es posible que hayas oído hablar de infinitos, pero déjame decirte que no son números sino solo un concepto y también hay diferentes tipos de infinitos.

12) Cada número par mayor que 4 puede escribirse como una suma de 2 primos. Esta afirmación parece ser cierta pero aún no está probada (la conjetura de Goldbach)

13) Hay algunas afirmaciones que no son ni verdaderas ni falsas. Por ejemplo: “Esta declaración es falsa”

14) Si un número primo da un resto 1 en la división por 4, entonces se puede escribir como la suma de un cuadrado de dos números naturales. (Teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados)

15) Cada número natural mayor o igual a 3 ocurre en un Triplete de Pitágoras.

Espero que todos hayan disfrutado de estos hechos matemáticos que muchas personas desconocen. Se agregará más tarde.

El numero de armstrong

Por lo general, las personas tienen una idea errónea con respecto a la Teoría de los números de Armstrong. ¡Incluso se enseña mal en las clases de programación!

Supongamos que el número de dígitos en un número es N.

La definición correcta de Número de Armstrong es:

Un número N es un número de orden de Armstrong n (n es el número de dígitos) si
a B C D. . . = [math] a ^ n + b ^ n + c ^ n + d ^ n… = N [/ math]

El número 153 es un número de orden 3 de Armstrong porque
[math] 1 ^ 3 + 5 ^ 3 + 3 ^ 3 = 153 [/ math]

Asimismo, 54748 es un número de orden 5 de Armstrong porque

[math] 5 ^ 5 + 4 ^ 5 + 7 ^ 5 + 4 ^ 5 + 8 ^ 5 [/ math] = 3125 + 1024 + 16807 + 1024 + 32768 = 54748

Más generalmente, se dice que un número de n dígitos en la base b es un número de orden n de Armstrong base b si es igual a la suma de las potencias n th de sus dígitos base b.
En todas las bases, ignoramos los casos triviales donde n = 1.

El número total de números de Armstrong menos de 1 billón!
153,370,371,407,1634,8208,9474,54748,92727,93084,548834,1741725,4210818,9800817,9926315,24678050,24678051,88593477,146511208,472335975,548494836,912985153.

Referencia: Donald Spencer. Problemas matemáticos desafiantes con las soluciones PASCAL. Playa de Ormand, Florida: Camelot Publishing Co., 1988.

1,729 es el número más pequeño que se puede representar de dos maneras diferentes como la suma de dos cubos:

1,729 = (1 × 1 × 1) + (12 × 12 × 12)
      
= (9 × 9 × 9) + (10 × 10 × 10)

también es el producto de 3 números primos:

1,729 = 7 × 13 × 19

El similar similar más grande conocido es:

885623890831

Solo leelo…

Al aire libre
EDICIÓN # 1:

Este concepto es dado por el matemático Ramanujan.

1,729 es conocido como Hardy -Ramanujan Number.

Gracias a

# 1 Shashank Aggarwal
# 2 Siddharth Siddu

por recordarme.

para más detalles solo sigue:
http://en.m.wikipedia.org/wiki/1 …

Los matemáticos (interpretados en sentido amplio, para incluir a la gente de CS y a la mayoría de los científicos / ingenieros) saben cómo pensar formalmente. Nunca fue tan evidente para mí como en mi primer año de la escuela de leyes.

Tendríamos una definición: digamos, traspasando. Entonces tendríamos un escenario de hecho que involucraba a alguien invadiendo, pero con todo tipo de hechos adicionales. El tipo que estaba traspasando lo estaba haciendo por una muy buena razón … para salvar una bolsa de gatitos. Y era muy simpático: se entregaba a la caridad, llamaba a su madre todos los domingos, etc. Nadie quería que fuera un intruso, a pesar de que se ajustaba claramente a la definición. Así que martillamos esa casa, insoportablemente: la definición es todo lo que importa.

Escenario siguiente, un tipo que no está invadiendo, pero es un verdadero bastardo. Él regularmente tortura gatitos en su tiempo libre, y solo visita a su madre para poner cigarrillos en su cuello. Por supuesto , todo el mundo hace al instante el caso de que está invadiendo.

Suspiro.

Como estudiante de matemáticas en la escuela de leyes, en realidad estaba un poco nerviosa antes de aparecer. Apenas sabía nada sobre el gobierno, la historia, etc., y pensé que estaría muy por detrás de la curva. Resultó que estaba muy por delante: es fácil aprender hechos , pero es difícil para las personas aprender una nueva forma de pensar.

• Decir si A miente, entonces B dice que la verdad es equivalente a decir que Si B miente, A dice la verdad.
• ¿Por qué no podemos dividir un número por 0?
• Cada imagen en esta imagen está relacionada con el número de Fibonacci y la proporción de oro
  
• No hay ningún conjunto que contenga todos los conjuntos. La paradoja de Russell
• No hay un número natural que no sea interesante. Numerosa paradoja interesante
• El conjunto de números primos no es finito. Teorema de euclides
• Esta cita en sánscrito sobre Matemáticas se dice que es la Reina de las Ciencias.
• Los números reales son solo una parte de los números complejos.
• Podemos contar números naturales y racionales, pero no podemos contar números reales. Los números reales son incontables
• Podemos probar que [math] 2 ^ {0.5} [/ math] no es un número racional usando la Prueba del último teorema de Fermat: – Deje que [math] 2 ^ {0.5} = \ frac {p} {q} [/ math] donde [math] p, q \ en Z [/ math]. [math] \ frac {p ^ 2} {q ^ 2} = 2 [/ math] o [math] p ^ 2 = 2q ^ 2 [/ math] o [math] p ^ 2 = q ^ 2 + q ^ 2 [/ math]. Según el último teorema de Fermat, no hay tal [math] p, q \ en Z [/ math]. Entonces [math] 2 ^ {0.5} [/ math] no es un número racional.

La mayoría de los laicos no saben que las matemáticas son un campo en el que, al igual que en la física y la biología, constantemente se hacen nuevos descubrimientos, y los profesores de matemáticas publican constantemente artículos que incorporan sus hallazgos. A veces, ponen la pregunta en forma negativa: “¿No se sabe todo en matemáticas?”. Así que ya ves que tienen una presunción. Si se supiera todo, habría habido una fecha histórica en la que se terminó el trabajo. Me pregunto si alguien tiene alguna creencia acerca de cuándo fue eso.

Cosas como el siguiente informe al menos disipan parcialmente el error: UNH Math Professor recibe el premio “Genius” de MacArthur 2014 después del descubrimiento del número primo

Un número [math] p [/ math] es un número primo si y solo si [math] (p-1)! \ equiv -1 (mod \, p) [/ math]. Esto se conoce como el teorema de Wilson.

En otras palabras, si [math] p [/ math] es un número primo, entonces [math] (p-1)! + 1 [/ math] es divisible por [math] p [/ math]. Esta prueba funciona para todos los números primos y ninguno de los números compuestos (es decir, no primos). Considera 5 y 6 como ejemplos.

• [Matemáticas] (5-1)! + 1 = 4! + 1 = 25 [/ math]
• [math] 25 \ div5 = 5. [/ math]

Divisible. Por lo tanto, 5 es un primo.

• [Matemáticas] (6-1)! + 1 = 5! + 1 = 121 [/ math]
• [math] 121 \ div6 = 20.1 \ overline {6} [/ math]

No divisible. Por lo tanto, 6 no es un primo.

Aunque esta prueba funciona perfectamente, el hecho de que involucre un factorial la hace bastante ineficiente, especialmente si se está considerando un gran número.

Aquí hay otro hecho interesante (como un bono) para llegar aquí. Un número que es divisible por [math] p ^ 2 [/ math] en lugar de [math] p [/ math] en el teorema anterior se conoce como un primo de Wilson. Solo hay 3 primos de Wilson conocidos, que son 5 , 13 y 563 .

El álgebra puede verse así:
Esta es una función q (D1, T_1,…, A) que se resuelve para A.
q% 2 D1 T_1 4 ^ T_2 4 ^ – * + “A inv D1 D2 inv * B inv * 1- * -” inv * =
q “A inv ___ – * -” *% 2 D1 ___ – * + =
“A inv * ____ – * -“% 2 D1 ____ – * + q inv * =
A% 2 D1 T_1 4 ^ T_2 4 ^ – * + q inv * D1 D2 inv * B inv 1 – * + inv =
Notación polaca inversa. ¡En el álgebra de infijo (el método que se enseña a todos) este problema cubriría media página!
(Puedes ver un poco de álgebra posterior a la reparación en la mitad inferior, yo estaba comprobando si estaba loco).
Es una pena que no mucha gente sepa de esto.

Teorema de cuatro colores:
Solo necesita cuatro colores para colorear cualquier mapa, de modo que los países adyacentes tengan colores diferentes.
Esto se puede hacer sin importar cómo se dibujen los bordes.

La historia detrás:
La conjetura de que cualquier mapa podría colorearse utilizando solo cuatro colores apareció por primera vez en una carta de Augustus De Morgan (1806-1871), primer profesor de matemáticas en el nuevo University College London, a su amigo William Rowan Hamilton (1805-1865) el famoso matemático irlandés en 1852. Se lo había sugerido a De Morgan uno de sus alumnos, Frederik Guthrie, en nombre de su hermano mayor Francis (quien luego se convirtió en profesor de matemáticas en la Universidad de Ciudad del Cabo).

Augustus De Morgan (1807-1871) y William Rowan Hamilton (1805-1865)
El problema, tan simplemente descrito, pero tan difícil de probar, atrapó la imaginación de muchos matemáticos en ese momento. A fines de la década de 1860, De Morgan incluso llevó el problema y su prueba para América, donde, entre otros, Benjamin Peirce (1809-1880), un famoso matemático y astrónomo, se interesó en él como una forma de desarrollar sus métodos lógicos.
De Morgan utilizó el hecho de que en un mapa con cuatro regiones, cada una tocando las otras tres, una de ellas está completamente cerrada por las otras. Como no pudo encontrar una manera de probar esto, lo utilizó como un axioma , la base de su prueba.

Sé algunas cosas que saben los amantes de las matemáticas, pero otras no.

Hay una aplicación loca de Matemáticas que viene cuando el número 1 está dividido por 998001 .

La respuesta le daría una secuencia completa de 000 a 999 en orden, en su resultado.

¿No están de acuerdo conmigo?

Adelante, pruébelo y prepárese para desperdiciar un cuaderno completo … (!?)

PD: Intenta resolver esto bajo tu propio riesgo.

La función y = 1 / x se aproxima a 0 en el infinito.
El área de la función se aproxima al infinito, pero el volumen cuando se gira la curva sobre el eje x es finito .

Esto se conoce como el Cuerno de Gabriel.

• Hay infinitos números primos que terminan en [math] 987654321 [/ math].

• Sean A, B, C, D y E cualesquiera cinco puntos en el plano. Es imposible unir los diez pares de estos puntos utilizando líneas o curvas, sin que al menos dos de ellos se crucen entre sí.
• [math] \ frac {1} {1} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {9} + \ ldots = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ math]

Y ahora para algo completamente diferente:

• El final primordial más pequeño en [math] 987654321 [/ math] es [math] 28987654321 [/ math].
• Sean A, B, C, D, E, F y G cualquiera de los siete puntos en la superficie de una dona. Es posible unir los 21 pares de estos puntos utilizando curvas, sin que ninguno de ellos se cruce uno al otro.
• [math] \ frac {1} {1} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {81} + \ ldots = \ frac {\ pi ^ 4} {90} [/ math]

Solo necesita cuatro colores para colorear cualquier mapa, de modo que los países adyacentes tengan colores diferentes. Esto se puede hacer sin importar cómo se dibujen los bordes. (Teorema de cuatro colores)

Cada vaca tiene un cowlick. (Teorema de la bola peluda)

1 + 2 + 3 + 4…. = -1/12 (regularización de la función Zeta)

En cualquier ciudad con una población de más de 200.000 habitantes, siempre puede encontrar al menos dos personas con exactamente el mismo número de pelos en la cabeza. (Principio del casillero)

Incluso si tuvieras una cantidad infinita de tiempo, no podrías contar todos los números reales. Tal vez más sorprendente, sería capaz de contar cada fracción. Esto parece muy extraño, ya que puedes encontrar una fracción entre dos reales. (Contabilidad, Q es densa en R)

No hay “verdades” en este mundo. Todo se basa en las definiciones dadas. Una vez que te das cuenta de esto, se vuelve mucho más fácil entender a otras personas. Piensas, ¿por qué piensa de esa manera? “. Y trata de descubrir cómo definió su mundo o su problema. Entonces podrás comprender mejor. Y cuando se trata de resolver problemas, considera la eliminación de una condición innecesaria. el problema.

Esto es lo que aprendí de las matemáticas. La verdad se basa en cómo la definiste.

Si uno quiere probar que cualquier afirmación es verdadera, debe dar una prueba matemáticamente correcta de la misma.

Pero un ejemplo contrario hará el trabajo si él quiere probar que una declaración es falsa.

ej . Si un matemático dice 1> 0, debe tener una prueba de ello. (Sí, hay una prueba ) Sin embargo, si alguien dice que una función continua siempre es diferenciable. Para refutarlo, cualquier matemático dará un ejemplo de una función que sea continua pero no diferenciable.

El teorema del triángulo rectángulo de Pitágoras es realmente útil, no solo algo que aprender, sino que está en el currículum. Mi respuesta favorita a los jóvenes que preguntan “¿por qué estudiar matemáticas / geometría? ¿Para qué sirve la vida diaria?” es para decirles cómo elevé mi reputación ante los ojos de mi nuevo suegro usando a Pitágoras para poner su cancha de tenis en línea recta

Un matemático regresa a su oficina para encontrar que un cigarrillo arrojado a la basura ha iniciado un pequeño incendio. Siendo tranquilo y un pensador rápido nota que hay un extinguidor de incendios junto a la ventana. Luego cierra la puerta y se aleja porque “la solución existe”. (¡Una nota al pie en la página 373 del libro de matemáticas aplicado de Caltech de Sean Mauch!).