La respuesta realmente es sí y no. La primera suposición de simplificación que hago es que los campos de materia que estamos considerando están acoplados mínimamente, y esto nos permite decir que dicha materia sigue geodésicas en el espacio-tiempo. Esto simplifica las cosas porque ahora la pregunta se reduce a qué tipo de espacio-tiempo está este asunto. y la gran intuición de Einstein al concebir la Relatividad General fue que la gravedad no era más que una consecuencia de la curvatura del espacio-tiempo y ahora intentaré y pondré algo de carne en esa afirmación.
(Nota: en todo lo que sigue, [math] \ tau [/ math] denota el tiempo apropiado)
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La ecuación de la desviación geodésica:
La mejor manera de entender qué hace la curvatura del espacio-tiempo a las geodésicas vecinas es la ecuación de la desviación geodésica. Es una ecuación que describe la aceleración relativa entre geodésicas vecinas y dice lo siguiente:
[math] \ frac {D ^ {2} \ xi ^ {\ alpha}} {D \ tau ^ {2}} = R ^ {\ alpha} _ {\ beta \ mu \ nu} V ^ {\ beta} V ^ {\ mu} \ xi ^ {\ nu} [/ math]
Aquí, [math] V ^ {\ mu} [/ math] es un vector de cuatro tangentes a la geodésica, y dado que estamos parametrizando las geodésicas usando el tiempo adecuado, es la velocidad de una partícula la que recorre esa geodésica (por ejemplo) y el vector cuatro [math] \ xi ^ {\ mu} [/ math] es el vector de separación entre dos geodésicas. Es importante tener en cuenta que [math] \ mathcal {L} _ {\ xi} V ^ {\ alpha} = 0 = \ mathcal {L} _ {V} \ xi ^ {\ alpha} [/ math].
Pero el verdadero mensaje para llevar a casa de esta ecuación es que la aceleración relativa (LHS) viene dada por el propio tensor de curvatura de Riemann, es decir [math] R ^ {\ alpha} _ {\ beta \ mu \ nu} [/ math] contraídos con estos campos vectoriales. Esto nos dice que cualquiera que sea la experiencia de las partículas de las fuerzas gravitacionales de las mareas está completamente determinada por la curvatura del espacio-tiempo. Si estuviéramos considerando el espacio plano, esta ecuación nos diría que dos geodésicas inicialmente paralelas se mantendrían paralelas (y esto funciona bien para nosotros, dado que las geodésicas en el espacio plano son solo líneas rectas) y en un espacio-tiempo estático simétricamente esférico. Es posible, en principio, extrapolar de esto la fuerza atractiva que el Sol tiene en los planetas del sistema solar (pero es mucho más fácil averiguar las órbitas de los planetas a partir de la ecuación geodésica). En general: si dos geodésicas comienzan paralelas entre sí, las fuentes de curvatura se aceleran relativamente entre ellas y evitan que permanezcan paralelas.
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La ecuación de Raychaudhuri y el teorema de enfoque:
Pero la historia no está completa, ahora debemos recordar que, aunque el espacio-tiempo dice cómo se mueve, ¡lo que realmente dice al espacio-tiempo es cómo se curva! Nuevamente, en la Relatividad General, tenemos una muy buena ecuación que resalta este hecho también (en el contexto de la pregunta, ¡la afirmación más obvia de este hecho son las propias Ecuaciones de Einstein!). La ecuación a la que me refería es lo que se conoce como la ecuación de Raychaudhuri, que lleva el nombre del gran relativista indio Amal Raychaudhuri, quien descubrió esto, pero también fue descubierto de forma independiente por consideraciones similares de Lev Landau. Para comprender esta ecuación, es bueno saber qué significa una congruencia de geodésicas, que es una familia de geodésicas en una región abierta del espacio-tiempo que pasa a través de todos y cada uno de los puntos de dicha región, de manera tal que cada geodésica pasa a través de un punto. solo una vez y ninguna de las geodésicas se intersecta. La acuñación de dicho término está obviamente motivada por la cosmología, donde las escalas relevantes de la materia en el universo pueden ser aproximadas por un fluido perfecto y, por lo tanto, el estudio de tales fluidos relativistas se volvió algo importante en algún punto, que es cuando Raychaudhuri intervino. Congruencia de las geodésicas, el objeto central de estudio es lo que se denomina escalar de expansión (lo que mide se encuentra en su nombre), y se define matemáticamente como [math] \ theta = \ nabla _ {\ alpha} v ^ {\ alpha} [/ math] y aquí [math] v ^ {\ alpha} [/ math] es tangente a las geodésicas (es lo mismo que [math] V ^ {\ alpha} [/ math] en la sección anterior si consideramos un cronograma congruencia irrotacional). La ecuación de Raychaudhuri es dada por
[math] \ frac {d \ theta} {d \ tau} = – \ frac {1} {3} \ theta ^ {2} – \ sigma ^ {\ alpha \ beta} \ sigma _ {\ alpha \ beta} + \ omega ^ {\ alpha \ beta} \ omega _ {\ alpha \ beta} -R _ {\ alpha \ beta} v ^ {\ alpha} v ^ {\ beta} [/ math]
Los tensores [math] \ sigma ^ {\ alpha \ beta} [/ math] y [math] \ omega ^ {\ alpha \ beta} [/ math] se denominan cizalla y rotación respectivamente (de nuevo, lo que hacen es todo en sus nombres) No daré una definición matemática para ellos, ya que sería una digresión, pero el término a destacar es el último término en la RHS, que es la contracción del escalar de Riccis con los vectores tangentes a las geodésicas en el congruencia. Llegando ahora al punto de esta discusión, si asumimos geodésicas irrotacionales que son todas hiper-superficiales ortogonales ([math] \ omega _ {\ alpha \ beta} = 0 [/ math]) entonces el teorema de enfoque se establece como sigue:
[math] \ frac {d \ theta} {d \ tau} = – \ frac {1} {3} \ theta ^ {2} – \ sigma ^ {\ alpha \ beta} \ sigma _ {\ alpha \ beta} –
R _ {\ alpha \ beta} v ^ {\ alpha} v ^ {\ beta} <0 [/ math]
y esto SOLO es posible si [math] R _ {\ alpha \ beta} v ^ {\ alpha} v ^ {\ beta}> 0 [/ math] y usando las ecuaciones de Einstein, esto implica automáticamente lo que se conoce como la Condición de Energía Fuerte :
[math] (T _ {\ alpha \ beta} – \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} T) v ^ {\ alpha} v ^ {\ beta} \ geq0 [/ math]
Aquí, [math] T _ {\ alpha \ beta} [/ math] es el tensor de momento de energía, que codifica la influencia de la materia en la geometría del espacio-tiempo como se indica en las ecuaciones de Einstein:
[math] R _ {\ alpha \ beta} – \ frac {1} {2} g _ {\ alpha \ beta} R = T _ {\ alpha \ beta} [/ math]
¿Qué nos dice realmente el teorema de enfoque? de solo mirar su declaración inferimos que nos dice que la expansión tiene que disminuir con el tiempo, lo que significa que si la congruencia es inicialmente divergente, es decir, [math] \ theta> 0 [/ math], luego comenzará a converger y si inicialmente converge [math] \ theta <0 [/ math], ¡solo convergirá más rápidamente! Esta es la forma más clara de ver que la gravedad causa una "atracción", ya que comprime una congruencia de geodésicos, y para relacionar esto con un ejemplo más concreto, volvamos a un fluido perfecto, que tiene densidad [matemáticas ] \ rho [/ math] y presión [math] p_ {i} [/ math] en la i'th dirección espacial. La condición de energía Fuerte implica entonces que
[math] \ rho + \ sum_ {i = 1} ^ {3} p_ {i} \ geq0 [/ math]
y
[math] \ rho + p_ {i} \ geq0 [/ math]
(para cada componente). El motivo por el que escribí esto es que la pregunta originalmente hacía referencia a la energía oscura o la constante cosmológica, y el punto principal a destacar es que la energía oscura es un fluido perfecto donde [math] p_ {1} = p_ {2} = p_ { 3} = p [/ math] y [math] -p = \ rho [/ math]! Entonces obviamente
[math] \ rho + 3p <0 [/ math] lo que me lleva a otro punto importante
La energía oscura viola la condición de energía fuerte!
Y obviamente, las geodésicas necesitan, t enfocarse y lo que sucedería es que la expansión crece, lo que podría parecer una repulsión, ¡pero en realidad no lo es!
En conclusión, aunque la fuerza gravitatoria es más o menos siempre atractiva entre dos cuerpos, es la condición de energía fuerte que obedece / no obedece la que hace que parezca que la gravedad se comporta o no de manera atractiva.
