Desde un punto de vista físico / conceptual, creo que esta pregunta ha sido bien respondida.
Desde un punto de vista matemático, un punto se define por la forma en que se relaciona con los otros conceptos que tiene disponibles, como “línea”, “círculo”, “intersecciones” y “se encuentra en”.
Entonces, por ejemplo, si se trata de una geometría proyectiva (plana), el punto es completamente capturado en los siguientes tres axiomas:
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1.) Cualquier dos puntos distintos se encuentran en una línea única.
2.) Cualquiera de las dos líneas distintas se intersecan en un punto único.
3.) Existen al menos 4 puntos distintos, de manera que no hay tres en una sola línea.
Es posible probar a partir de estos 3 axiomas que:
4. *) Existen al menos 4 líneas distintas de manera que no se intersectan tres en un solo punto.
El agudo observador notará que si cambia las palabras “punto” y “línea”, así como “mentir sobre” e “intersección”, entonces nada cambia (es decir, cada declaración sigue siendo verdadera). Lo que esto le dice es que, en la geometría proyectiva, puede tratar sus puntos como si fueran líneas, y sus líneas como puntos.
Esto se siente muy raro conceptualmente, pero funciona perfectamente matemáticamente. Tomando una visión abstracta, un punto es lo que describan tus axiomas.
O, como lo dijo David Hilbert: “uno debe poder decir ‘mesas, sillas y jarras de cerveza’ cada vez en lugar de ‘puntos, líneas y planos'” (Blumenthal, 1935a, 402-403)
