Otra forma de verlo es si imaginas calcular la integral del cuadrado de la función de onda radial en coordenadas esféricas.
Primero, hemos separado la parte radial de los armónicos esféricos,
[math] \ Psi_ {nlm} = R_ {nl} Y_ {lm} [/ math].
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Llamaré a la integral I.
[math] I = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {\ pi} \ int_0 ^ \ infty | R_ {nl} | ^ 2 r ^ 2 dr sin \ theta d \ theta d \ phi [/ math]
Como nos estamos integrando solo sobre la parte radial, no depende de los ángulos. Esto significa que puede integrarse con respecto a ellos de esta manera:
[math] \ int_0 ^ {2 \ pi} d \ phi = 2 \ pi [/ math]
Y
[math] \ int_0 ^ {\ pi} sin \ theta d \ theta = -cos (\ pi) + cos (0) = 2 [/ math].
Escribiendo esos resultados de nuevo en I da:
[math] I = \ int_0 ^ \ infty 2 \ cdot 2 \ pi \ cdot | R_ {nl} | ^ 2 r ^ 2 dr = \ int_0 ^ \ infty | R_ {nl} | ^ 2 4 \ pi r ^ 2 dr [/ math].
De hecho, todos los diferenciales aquí.
[math] r ^ 2 dr sin \ theta d \ theta d \ phi [/ math]
corresponde al volumen elemental, el volumen más pequeño posible que podemos definir. Es a través de la integración que se deriva la fórmula para el volumen de una esfera.
