Para mis 2 centavos, recomendaría Courant & Robbins ‘ ¿Qué es la matemática? ¿Qué es la matemática? Un enfoque elemental de las ideas y los métodos: Richard Courant, Herbert Robbins, Ian Stewart: 9780195105193: Amazon.com: Libros. Al igual que con las respuestas de Quora, solo hojear las revisiones y comentarios e investigar los libros “También recomendados …” lo mantendrá ocupado durante mucho tiempo.
Mi brillante amigo británico que conocí en la escuela de posgrado ya no está con nosotros, así que no puedo preguntarle qué significa un grupo de A-Levels probablemente en términos de su historial y, me gustaría estar en desacuerdo con la insistencia de otros en que el cálculo es necesario. Pero no lo haré. Hay muchas etapas de la “iluminación”, si así lo desea, en sus esfuerzos por comprender las matemáticas y dominar los conceptos de cálculo contribuye en gran medida.
Sin embargo, en mi propio viaje, creo que mi mayor momento de asombro y conmoción fue enfrentarme al Teorema de Cantor (no al Pequeño Cantor: [math] n <2 ^ n [/ math]) y las órdenes superiores del infinito. Lance la Paradoja de Russell y muchas de las turbulencias en matemáticas en el vecindario de 1900. Puede fácilmente buscar en Google Cantor, Cantor Set, paradox, Hilbert, Dedekind, etc. y aprender mucho sin comprometerse con el resumen de los grandes momentos de una persona. matemáticas. Y no necesitas cálculo para ninguno de estos temas.
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También hay muchas “rarezas” en la topología que son accesibles intuitivamente sin cálculo. En http://www.cut-the-knot.org/ puede encontrar muchas curiosidades interesantes, como Lakes of Wada. (La calidad de las exposiciones varía, como en todas las matemáticas). Mis estudios en topología me parecen bastante “expandibles”, ya que hay muchos ejemplos de “hechos obvios” que simplemente no lo son, sin Restricciones de las que no tenía ni idea.
Existen diferencias en los enfoques estadounidense, británico y ruso para la educación matemática. Como se ha comentado en otra parte, los textos estadounidenses tienden (y me refiero a que tienden a ser “inclusivos de nova-class”) a ser “inclusivos”, que buscan explicar en términos accesibles para la mayor audiencia. Los textos rusos (tengo experiencia limitada aquí, pero conozco a matemáticos rusos, generalmente impacientes) son “exclusivos” y tienden a confundir a aquellos que, al no entender, no seguirán estudiando. Hay algo que decir para ambos enfoques.
Los británicos, por lo que puedo decir, caen en algún punto intermedio, aunque mi opinión sobre el enfoque en la mayoría de los textos británicos que he encontrado se inclina hacia el ruso. Con el tiempo aprendí a apreciar la tendencia británica a la concisión frente a la inclinación generalmente estadounidense a inventar analogías poco plausibles o aplicaciones ridículas.
Otra diferencia entre los enfoques británico y estadounidense, me dicen, y no tengo ninguna razón para dudarlo después de muchos años, en el Reino Unido, se recomienda a los estudiantes graduados que se especialicen rápidamente y completen sus conocimientos generales después de obtener un título avanzado. En América, se espera que los estudiantes demuestren conocimientos avanzados razonables en varias áreas de las matemáticas antes de especializarse.
En mi propio caso, absorbí cualquier tipo de matemática que pudiera encontrar (y tener la más mínima idea) aproximadamente a la edad de 15 años y cuando estaba lista para la escuela de posgrado ya estaba demasiado extendida y, a veces, muy delgada. Pensé que sabía mucho más de lo que realmente sabía.
Así que definitivamente recomendaría obtener una solución a las áreas básicas de las matemáticas: Álgebra, Topología y Análisis tan pronto como sea posible, así como SÓLO una noción pasajera de dónde encajan las otras áreas. Mi intolerancia.) Eso comenzará con el cálculo (análisis) y el álgebra lineal (álgebra, obviamente). La topología es una especie de generalización del cálculo, sin el cálculo … Por lo tanto, entender el lugar en el que encaja a veces es un poco problemático y generalmente se deja para más adelante. (La “continuidad” es un concepto de importancia crítica). No es necesario que lo haga si simplemente navega por la web en busca de problemas / hechos interesantes en la topología. (Por ejemplo, https://www.math.hmc.edu/funfact…)
Pero tendrá que llegar a tres cursos básicos antes de tener un manejo decente de los “conceptos básicos”: cálculo avanzado (a menudo “análisis real”, aunque el término generalmente se reserva para cursos que incluyen la interrelación lebesca – la secuela), resumen álgebra (teoría de grupos y anillos como mínimo – preferiblemente una introducción a la teoría de campos y una mención de Evariste Galois y lo que logró – fácil de google) y el curso introductorio de topología que es invariablemente topología de “conjuntos de puntos” (no algebraica) y puede ser muy aburrido dependiendo de tu disposición (lo encontré muy difícil hasta que aprendí el tema y aquí es donde todos los “contraejemplos” fascinantes cambiaron totalmente mi forma de entender las matemáticas).
Buena suerte
