Gracias por la A2A!
Ya he visto algunas buenas respuestas. Asumiré que desea aprender matemáticas basadas en pruebas, y no lo está apresurando. Aprendes matemáticas leyendo material y haciendo ejercicios sobre él. Probablemente podría encontrar explicaciones y conferencias en línea si tiene dificultades, especialmente al principio. Te sugiero que sigas el siguiente horario:
- Comience con lo básico. Primero tienes que aprender a hacer matemáticas. Tendrá que aprender a probar enunciados matemáticos y familiarizarse con algunos cálculos. Para una introducción a las matemáticas basadas en la prueba, puede usar “Lectura, escritura y prueba: una mirada más cercana a las matemáticas”, o cualquier otro libro sobre esto ya sugerido.
En cuanto al cálculo, depende un poco de lo que ya sabes. Ya tenía los requisitos previos en la escuela secundaria, pero no sé qué tan común es esto. Le sugiero que aprenda a diferenciarse e integrarse en una dimensión. Familiarícese con las reglas de diferenciación (regla del producto, regla de la cadena, etc.) y aprenda cómo hacer la integración por partes y por sustitución. Cualquier libro de texto de cálculo elemental debería ser suficiente.
(Puede aprender más cálculo avanzado más adelante si lo desea, podría ser necesario para un análisis real más avanzado, pero generalmente lo encuentro un poco aburrido, así que le sugiero que comience a hacer matemáticas más divertidas una vez que tenga los requisitos mínimos). - Ahora, el primer paso es aprender algo de Álgebra Lineal y Análisis Real. Asegúrate de usar un libro de álgebra lineal basado en pruebas, no algo que usarían el físico o los ingenieros. Realmente no quiere hacer los cálculos, quiere saber por qué estos cálculos incluso funcionan. Pruebe algo como el libro de Hoffman y Kunze y definitivamente no intente algo como ‘Linear Algebra and its Applications’ de Lay. Familiarícese con los espacios vectoriales, la multiplicación de matrices, las transformaciones de bases, los valores / vectores propios y las descomposiciones espectrales.
En cuanto al Análisis Real, creo que ‘Análisis Elemental – La Teoría del Cálculo’ de Ross es tu libro. Comience con la convergencia de secuencias, luego trabaje a través de la continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad de las funciones. Básicamente, podrías trabajar en todo el libro si lo deseas. - Lo siguiente es más análisis y álgebra abstracta. He usado muchos programas de estudio para el análisis, así que no estoy seguro de qué libro escoger después de Ross. Podrías probar con Rudin o tal vez con Duistermaat. Familiarícese con series, series de potencias, series de Taylor y comience con derivados de dimensiones más altas. Trabaje hasta el teorema de la función implícita y el teorema de la función inversa. (Este es un camino largo y le puede llevar de varios meses a un año, no se apure)
En cuanto al Álgebra abstracta, “Un primer curso en álgebra abstracta” de Fraleigh podría funcionar para usted. Comience con los grupos. Familiarícese con los subgrupos (normales), los grupos de cocientes, las acciones de grupo y los teoremas de isomorfismo. - Si estás interesado, puedes intentar incluir algunos estocásticos en la mezcla, pero sé poco sobre este tema, así que no puedo ayudar mucho con esto. Los conceptos básicos cubren al menos las distribuciones, los valores esperados y las desviaciones estándar. Necesitará la teoría de la medida para demostrar rigurosamente que todo esto es legítimo, pero eso es algo que querrá retomar más adelante.
- La parte final de mi recomendación es más Álgebra, algunos análisis complejos y topología. Ábrete paso a través de capítulos sobre Anillos y, en particular, Campos. Probablemente podrías usar el mismo libro que usaste para la teoría de grupos.
Para el análisis complejo, puede probar la “teoría de la función de una variable compleja” de Greene y Krantz. A estas alturas ya debería ser capaz de averiguar qué libros le gustan y qué libros que no le gustan, hay muchos sobre este tema.
Para la topología, use Munkres, esto es realmente una obviedad. Al menos trabaje hasta el grupo fundamental y el teorema de Seifert-van Kampen, pero no dude en leer todo el libro si lo desea.
Bien, ¡ahora ya has cubierto los conceptos básicos de las matemáticas superiores! Si no se enfoca completamente en las matemáticas, esperaría que este proceso tomara aproximadamente de 3 a 4 años. Después de esto, puedes decidir en qué tipo de matemáticas quieres enfocarte a continuación. Algunas sugerencias: Teoría de Galois, Teoría de los números, Teoría de la representación, Ecuaciones diferenciales (parciales), Teoría de la medida, Análisis funcional, Análisis numérico, Geometría diferencial, Topología algebraica y la lista sigue y sigue.
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¡Buena suerte!
