¿Debería? Bueno, cualquier cosa que te interese de verdad! Tal vez un comienzo temprano de lo que estudiarás después del descanso. Creo que probablemente sería lo ideal.
Probablemente tomará un análisis real pronto. Recomiendo el análisis matemático real de Pugh que usé y tiene muchos ejercicios geniales. Si te gustan los clásicos, opta por los Principios de análisis matemático de Rudin, pero he oído que es difícil y lento estudiar por mí mismo.
El aprendizaje de la topología también ayudaría con la preparación para eso, en cuyo caso la Topología de Munkres (segunda edición) es ampliamente utilizada y bastante accesible y común para el autoaprendizaje.
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Si no eres un gran análisis como yo, prueba temas como la teoría de categorías o la teoría de números algebraicos dependiendo de lo avanzado que estés en el álgebra abstracta. Algunos temas más ligeros son la lógica, la probabilidad y la combinatoria.
Aunque si se refería a lo que un estudiante de matemáticas podría terminar de estudiar dentro de un descanso de invierno de 36 días, entonces algunos de los temas son más factibles que otros, pero eso realmente depende de qué tan rápido aprenda y cuántas horas dedique.
Tenga en cuenta que no hay necesidad de estudiar ningún orden en particular! ¿Por qué no todos a la vez? ¡La clave es comenzar!
