¿Qué consejo le daría un matemático a un estudiante de pregrado en matemáticas si está atascado en un problema durante varias horas sin mucho progreso?

Estado allí. Hecho eso, a menudo. Lo haré de nuevo a menos que me dé pereza y deje de intentar aprender.

Esto es lo que he encontrado cuando me he encontrado con un problema particularmente molesto que simplemente no puedo resolver:

1. Tengo mi mente atrapada en un método particular de solución. Me he convencido a mí mismo de que funcionará, a pesar de las horas de evidencia que no está funcionando. Creo que todavía no he puesto suficiente esfuerzo. Ese puede no ser el caso. Solo estoy tratando de usar la herramienta equivocada. Si llega a ese punto, es mejor dar un paso atrás e intentar escribir explícitamente las suposiciones que está haciendo sobre la dirección que ha elegido. Trate de validar o invalidar esas suposiciones. Puede ver el error en su enfoque.
2. Otra forma de romper con la aplicación del método incorrecto es detenerse y hacer un balance de otros enfoques posibles. Si no ha visto la manera de avanzar dentro de, por ejemplo, 10 o 15 minutos, examine los otros enfoques que ha utilizado tanto en esta clase en particular como en otras. ¿Estás intentando una prueba constructiva? Tal vez una prueba por contradicción funcione. Tal vez puedas descomponerlo en una prueba inductiva más simple. ¿Está olvidando una identidad que ha aprendido pero que no ha usado con la frecuencia suficiente para que le venga a la mente fácilmente? ¿Puedes reducir el problema a uno que sea más fácil de resolver?
3. Si realiza un esfuerzo concertado largo, tómese un descanso. Piensa en otros problemas. Tomar una ducha. Ir a caminar. Toma una cerveza con un amigo. Cualquier cosa que te distraiga del problema puede funcionar. Su subconsciente no dejará de trabajar en el problema. Hay muchas veces que he hecho esto y me he despertado al día siguiente con un nuevo enfoque que funciona. No sé qué procesos misteriosos ocurren en la mente que causa esto. Me alegro de que estén allí.
4. Si su profesor lo permite, hable con sus amigos u otros profesores sobre el problema. No solo pida la respuesta, sino que hable sobre su enfoque. A veces, explicar a otra persona dónde tiene problemas le hace obvio lo que debería hacer en su lugar, a menudo sin que la otra persona diga una palabra relevante. Sospecho que esto se debe a que el proceso de comunicación verbal te obliga a un nivel de claridad que no siempre ocurre cuando estás “en tu propia mente”. Es probable que también se lleve el problema de un lado a otro del cerebro.
5. Otra cosa que funciona es ir a la biblioteca (o buscar en línea) para diferentes presentaciones del material que está estudiando. Esto me ha funcionado bien cuando no he establecido una conexión crítica entre ideas diferentes. Un autor puede pensar que la conexión es obvia y no enfatizarla. Otro autor puede pensar que la conexión es crítica y explicarlo de una manera que le brinde esa agradable experiencia de “ah ha”.

Espero que encuentres algo útil en estas pocas observaciones.

Le sugiero que lo deje a un lado, después de haber hecho todo lo posible, no por horas, sino por un tiempo razonable como media hora o una hora. Puede recogerlo en cualquier momento si está realmente interesado en ese problema. Aun así, debe dejarlo de lado si no puede hacer un progreso significativo en él después de un tiempo. No es una buena idea dedicarse a un problema durante demasiado tiempo, ya que se convertirá en una obsesión, ya no será un interés y perderá su energía y tiempo.

Nadie es un genio, nunca podemos resolver todos los problemas que encontramos en nuestra vida. No poder resolver un problema específico no significa nada, no tenemos que luchar para obtener 100 puntos cada vez en cada tema.

En general, solo prestaría atención a un tema en toda mi vida, nunca presté una atención completa a ningún otro tema, ya que nuestra energía y tiempo son limitados. Creo que saber casi todo un poco es una buena actitud, pero no es necesario resolver todos los problemas que encontramos.

Quizás ese problema sea demasiado difícil para cualquiera, tal vez sus antecedentes no lo hayan preparado bien para ese problema específico, lo cual está perfectamente bien. Lo que necesitamos es hacerlo bien en general, no en un problema específico.

Mis mejores deseos y buena suerte.

Recomendaría los trabajos de Gyorgy Polya : ¿Cómo resolverlos? , y (perdón por la metafrase) La escuela de resolución de problemas I y II (no tengo mejor traducción).

Le diría alguna información adicional sobre estos libros. En primer lugar el tema de los libros son heurísticos.

La heurística es cómo ayudarlo a comenzar y cómo trabajar en la solución de un problema.

Creo que debería mencionar 2 cosas más: este progreso no reemplaza la prueba rigurosa. Si entiende el campo muy bien, no tendrá ningún problema con los problemas.

Finalmente, un dato interesante sobre el inventor de la heurística. Fue un matemático húngaro nacido. El Cómo resolverlo fue una especie de best seller en los aeropuertos .

Espero que te pueda ayudar.

A nivel de pregrado, si y solo si ha usado todas las técnicas estándar (volver a las definiciones, comparar con ejemplos, buscar en Math.Stackexchange, hablar con tutores, servicios de asistencia, colegas y amigos), entonces le recomendaría …

Sugeriría que esto es un signo de una enseñanza de mala calidad. Si no sabes cómo resolverlo, no te han enseñado cómo resolverlo. Así es como funciona la enseñanza.

En este punto, ve y dile a tu profesor que estás luchando y pídele que te ayude. Si se niegan, ve a buscar otro profesor y vuelve a preguntar. Diles que lo has mirado durante 5 horas. Pídales libros de referencia, videos de YouTube, cualquier cosa para que sea más fácil para usted. El buen aprendizaje no siempre ocurre luchando con amargura. Obviamente, hay un lugar para eso, pero en la licenciatura debes recibir una educación guiada.

Parece que se ha vuelto cada vez más común esperar que los estudiantes puedan recrear ideas y técnicas fundamentales en matemáticas, y esto es, por supuesto, una buena capacitación para la investigación, pero no es una forma eficiente de aprender. Para cada uno de estos problemas, debe haber una docena en la que está practicando el uso de técnicas que se le han mostrado, o guiado para descubrir algo nuevo.

¡Bienvenido a las matemáticas! Todos nos quedamos estancados, a veces por mucho más tiempo que eso. Como ejemplo, Andrew Wiles pasó más de 7 años en el último teorema de Fermat, y personalmente me sentiría feliz si solo me quedara estancado por “horas” en un problema muy difícil.

Algunas cosas que me han ayudado:
1) Tomar un descanso o caminar cada vez que sienta la necesidad.
2) Hablar con otros matemáticos / ir a conferencias
3) Lectura de documentos fuera de mi área (¿quién sabe, tal vez se resolvió un problema análogo utilizando álgebra abstracta o teoría de números?)
4) Trabajando en otro problema en su lugar

Soy un estudiante de física y tengo problemas similares, sí, es frustrante, pero todos los métodos fallidos tienden a enseñarte algo acerca de las matemáticas. Tal vez no sea el problema en cuestión sino algo más. Como tal no se ha desperdiciado. También he encontrado que dormir es una gran solución ya que tiendes a despertarte con una idea un poco más consolidada de cuál es el problema que te permite ver mejor los patrones.

Una pregunta relevante que debe leer: al resolver problemas en sitios como TopCoder, SPOJ o Codeforces, la mayoría de las veces, no puedo resolver problemas en menos de 30 minutos. ¿Debo pensar en un problema durante días o simplemente buscar una solución en línea?