¿Cuál es la forma más eficiente de obtener conocimientos matemáticos? Si fuera a crear un curso intensivo de matemáticas de 1 año, ¿qué temas cubriría y en qué orden? ¿Qué recursos introducirías y cómo recomendarías a las personas estudiar?

John Baez tiene el siguiente consejo:

Las matemáticas son un tema mucho más diverso que la física, en cierto modo: hay muchas ramas que puedes aprender sin necesidad de conocer otras ramas primero … ¡aunque solo entiendes profundamente un tema después de ver cómo se relaciona con todas las demás!

Después de la educación básica, la pista habitual a través de las matemáticas comienza con un poco de:

• ¿Cómo me preparo para los exámenes de PCM de clase 11?
• ¿Debo solicitar en Canadá o Alemania para estudiar educación?
• ¿Cómo fue el artículo científico del código 31/3 de CBSE clase 10 2017?
• ¿Cómo estudian algunos de los mejores estudiantes de ingeniería?
• ¿Dónde en Pune puedo sentarme y estudiar?

• Matemáticas finitas (combinatoria)
• Cálculo
• Cálculo multivariable
• Álgebra lineal
• Ecuaciones diferenciales ordinarias
• Ecuaciones diferenciales parciales
• Analisis complejo
• Análisis real
• Topología
• Teoría de conjuntos y lógica.
• Álgebra abstracta

No necesariamente en exactamente este orden. (Por ejemplo, necesita saber un poco de teoría y lógica de conjuntos para entender realmente qué es una prueba). Luego, el estudio de las matemáticas se ramifica en una variedad vertiginosa de temas más avanzados. Es difícil obtener el “panorama general” de las matemáticas hasta que hayas llegado bastante lejos; de hecho, cuanto más aprendo, más me rio de mis ideas patológicamente ingenuas anteriores de lo que son las matemáticas “todo”.

Pero si quieres echar un vistazo, prueba estos libros:

• F. William Lawvere y Stephen H. Schanuel, Matemáticas conceptuales: una primera introducción a las categorías, Cambridge University Press, 1997. (Un gran lugar para comenzar).
• Saunders Mac Lane, Matemáticas, Forma y función, Springer-Verlag, Nueva York, 1986. (Más avanzado).
• Jean Dieudonne, Un panorama de matemáticas puras, como lo vio N. Bourbaki, traducido por IG Macdonald, Academic Press, 1982. (Muy avanzado, mejor si ya sabes mucho de matemáticas. Cuidado: muchas personas no están de acuerdo con la perspectiva de Bourbaki).

No me he decidido por mis libros favoritos sobre todos los temas básicos de matemáticas, pero aquí hay algunos. En esta lista, estoy tratando de elegir los libros más claros que conozco, no los más profundos; querrás profundizar más a fondo:

Matemáticas finitas (combinatoria):

• Ronald L. Graham, Donald Knuth y Oren Patshnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1994. (Demasiado avanzado para un primer curso de matemáticas finitas, pero este libro es divertido, peculiar, lleno de chistes, ‘ ¡Te enseñaré trucos para contar cosas que harán volar la mente de tus amigos!)

Cálculo:

• Silvanus P. Thompson, Calculus Made Easy, St. Martin’s Press, 1998. (La mayoría de los textos de cálculo de la universidad pesan una tonelada; este de 1910 no lo hace; simplemente llega al punto. Así es como aprendí el cálculo: mi tío me dio Una copia. Por desgracia, la nueva edición ha sido inflada hasta 336 páginas por Martin Gardener. La gente debe querer que el cálculo sea difícil.
• Gilbert Strang, Cálculo, Wellesley-Cambridge Press, Cambridge, 1991. También disponible en línea gratis en http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm. (Otro clásico, con muchas aplicaciones para problemas del mundo real.)

Cálculo multivariable:

• James Nearing, Herramientas matemáticas para la física, disponible en http://www.physics.miami.edu/~ne…. Vea especialmente las secciones sobre cálculo multivariable, cálculo vectorial 1 y cálculo vectorial 2. (¡Muy buenas explicaciones!)
• George Cain y James Herod, Cálculo multivariable. Disponible gratis en línea en http://www.math.gatech.edu/~cain…

Álgebra lineal:

• No tengo ningún libro favorito de álgebra lineal, así que solo enumeraré algunos gratuitos:
• Keith Matthews, Elementary Linear Algebra, disponible gratuitamente en línea en http://www.numbertheory.org/book/.
• Jim Hefferon, Álgebra Lineal, disponible gratuitamente en línea en http://joshua.smcvt.edu/linalg.h….
• Robert A. Beezer, un primer curso en álgebra lineal, disponible en línea en http://linear.ups.edu/.

Ecuaciones diferenciales ordinarias – algunos libros gratuitos en línea:

• Bob Terrell, Notas sobre ecuaciones diferenciales, disponible en línea de forma gratuita en http://www.math.cornell.edu/~bte…. (Hace ecuaciones diferenciales tanto ordinarias como parciales.)
• James Nearing, Herramientas matemáticas para la física, disponible en http://www.physics.miami.edu/~ne…. Consulte especialmente las secciones sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y series de Fourier (que son buenas para resolver tales ecuaciones).

Ecuaciones diferenciales parciales – algunos libros gratuitos en línea:

• Bob Terrell, Notas sobre ecuaciones diferenciales, disponible en línea de forma gratuita en http://www.math.cornell.edu/~bte…. (Hace ecuaciones diferenciales tanto ordinarias como parciales.)
• James Nearing, Herramientas matemáticas para la física, disponible en http://www.physics.miami.edu/~ne…. Ver especialmente la sección sobre ecuaciones diferenciales parciales.

Análisis complejo:

• George Cain, Complex Analysis, disponible gratuitamente en línea en http://www.math.gatech.edu/~cain…. (¿Cómo puede no gustarte gratis en línea?)
• James Ward Brown y Ruel V. Churchill, Variables complejas y aplicaciones, McGraw-Hill, Nueva York, 2003. (Una introducción práctica al análisis complejo).
• Serge Lang, Complex Analysis, Springer, Berlín, 1999. (Más avanzado).

Análisis real:

• Richard R. Goldberg, Métodos de análisis real, Wiley, Nueva York, 1976. (Una introducción suave.)
• Halsey L. Royden, Real Analysis, Prentice Hall, Nueva York, 1988. (Un poco más profundo; aquí se obtiene la integración de Lebesgue y los espacios de medición).

Topología:

• James R. Munkres, Topología, James R. Munkres, Prentice Hall, Nueva York, 1999.
• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., Contraejemplos en Topología, Dover, Nueva York, 1995. (Es divertido ver lo locos que pueden llegar a ser los espacios topológicos: también, los contraejemplos te ayudan a entender definiciones y teoremas. Pero, no ¡Déjate engañar pensando que esto es el punto de topología!)

Teoría de conjuntos y lógica:

• Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, Academic Press, Nueva York, 1977.
• Herbert B. Enderton, Introducción matemática a la lógica, Academic Press, Nueva York, 2000.
• F. William Lawvere y Robert Rosebrugh, Sets for Mathematics, Cambridge U. Press, Cambridge, 2002. (Una elección poco ortodoxa, ya que este libro adopta un enfoque basado en la teoría de categorías en lugar de los anticuados axiomas de Zermelo-Fraenkel. Pero esto es la ola del futuro, por lo que puede saltar ahora!)

Álgebra abstracta:

• No me gustaba el álgebra abstracta como estudiante universitario. Ahora me encanta! Los libros de texto que parecían agradables ahora parecían secos como polvo en aquel entonces. Por lo tanto, no estoy seguro de poder recomendar un libro de texto versátil sobre álgebra que mi yo anterior hubiera disfrutado. Pero, me hubiera gustado esto:
• Hermann Weyl, Symmetry, Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1983. (Antes de sumergirse en la teoría de grupos, averigüe por qué es divertido).
• Ian Stewart, Galois Theory, tercera edición, Chapman and Hall, Nueva York, 2004. (Una introducción llena de diversión a una maravillosa teoría de grupos de aplicaciones que a menudo se explica muy mal).

A continuación, aquí hay algunos libros sobre temas relacionados con la física matemática. Por pereza, asumiré que ya está algo cómodo con los temas mencionados anteriormente, sí, sé que eso requiere aproximadamente 4 años de trabajo a tiempo completo. – Y lo recogeré de allí.

Aquí es un buen lugar para comenzar:

• Paul Bamberg y Shlomo Sternberg, Un curso de matemáticas para estudiantes de física, Universidad de Cambridge, Cambridge, 1982. (Una buena introducción básica a las matemáticas modernas, en realidad).

También es bueno obtener estos libros y seguir refiriéndose a ellos según sea necesario:

• Robert Geroch, Física Matemática, University of Chicago Press, Chicago, 1985.
• Yvonne Choquet-Bruhat, Cecile DeWitt-Morette y Margaret Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds, and Physics (2 volúmenes), Holanda del Norte, 1982 y 1989.

Aquí están mis libros favoritos sobre varios temas especiales:

Teoría de grupos en la física:

• Shlomo Sternberg, Teoría de grupos y física, Cambridge University Press, 1994.
• Robert Hermann, Grupos de mentiras para físicos, Benjamin-Cummings, 1966.
• George Mackey, Representaciones de grupos unitarios en física, probabilidad y teoría de números, Addison-Wesley, Redwood City, California, 1989.

Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y sus representaciones, en un orden aproximado de sofisticación creciente:

• Brian Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, Springer Verlag, Berlín, 2003.
• William Fulton y Joe Harris, Teoría de la representación: primer curso, Springer Verlag, Berlín, 1991. (Una introducción amistosa a grupos finitos, grupos de Lie, álgebras de Lie y sus representaciones, incluida la clasificación de álgebras de Lie simples. Una gran cosa es que tiene muchas imágenes de sistemas de raíces y trabaja lentamente en una escalera de ejemplos de estos antes de arruinar al lector con generalidades abstractas.)
• J. Frank Adams, Lectures on Lie Groups, University of Chicago Press, Chicago, 2004. (Una introducción muy elegante a la teoría de los grupos de Lie semisímiles y sus representaciones, sin el embrollo de notación que tiende a plagar este tema. Pero es una poco conciso, así que es posible que tengas que mirar otros libros para ver lo que realmente está pasando aquí.)
• Daniel Bump, Lie Groups, Springer Verlag, Berlín, 2004. (Un recorrido amistoso por el amplio y fascinante panorama de los grupos matemáticos que lo rodean, a partir de cosas realmente básicas y trabajando hasta temas avanzados. Lo bueno es que explica cosas sin sintiendo la necesidad de probar cada declaración, para que pueda cubrir más territorio.)

Geometría y topología para físicos, en un orden aproximado de sofisticación creciente:

• Gregory L. Naber, Topología, Geometría y Campos de medición: Fundaciones, Springer Verlag, Berlín, 1997.
• Chris Isham, Geometría diferencial moderna para físicos, World Scientific Press, Singapur, 1999. (Isham es un experto en relatividad general, por lo que es especialmente bueno si quiere estudiarlo).
• Harley Flanders, Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas, Dover, Nueva York, 1989. (Todos tienen que aprender formas diferenciales eventualmente, y este es un buen lugar para hacerlo).
• Charles Nash y Siddhartha Sen, Topología y Geometría para Físicos, Academic Press, 1983. (Esto enfatiza las motivaciones físicas … no es tan preciso en los puntos).
• Mikio Nakahara, Geometría, Topología y Física, A. Hilger, Nueva York, 1990. (Más avanzado).
• Charles Nash, Topología diferencial y Teoría de campos cuánticos, Academic Press, 1991. (Aún más avanzado: esencial si desea comprender lo que Witten está haciendo).

Geometría y topología, hacia arriba:

• Victor Guillemin y Alan Pollack, Topología diferencial, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1974.
• Dubrovin, AT Fomenko y SP Novikov, Geometría moderna – Métodos y aplicaciones, 3 volúmenes, Springer Verlag, Berlín, 1990. (Muchos ejemplos, excelentes para intuición de construcción, algunos errores aquí y allá. El tercer volumen es un curso excelente en topología algebraica desde un punto de vista geométrico.)

Topología algebraica:

• Allen Hatcher, Topología algebraica, Cambridge U. Press, Cambridge, 2002. También disponible de forma gratuita en http://www.math.cornell.edu/~hat…. (Una excelente introducción moderna.)
• Peter May, Un curso conciso sobre topología algebraica, U. of Chicago Press, Chicago, 1999. También disponible de forma gratuita en http://www.math.uchicago.edu/~ma…. (Mas intenso.)

Teoría del nudo:

• Louis Kauffman, On Knots, Princeton U. Press, Princeton, 1987.
• Louis Kauffman, Nudos y Física, World Scientific, Singapur, 1991.
• Dale Rolfsen, Knots and Links, Publish or Perish, Berkeley, 1976.

Aspectos geométricos de la mecánica clásica:

• VI Arnold, Métodos matemáticos de la mecánica clásica, traducido por K. Vogtmann y A. Weinstein, 2ª edición, Springer-Verlag, Berlín, 1989. (Los apéndices son algo más avanzados y cubren todo tipo de temas ingeniosos.)

Análisis y sus aplicaciones a la física cuántica:

• Michael Reed y Barry Simon, Métodos de física matemática moderna (4 volúmenes), Academic Press, 1980.

Álgebra homológica:

• Joseph Rotman, Introducción al álgebra homológica, Academic Press, Nueva York, 1979. (Una buena introducción a una rama importante pero a veces intimidante de las matemáticas).
• Charles Weibel, Introducción al álgebra homológica, Cambridge U. Press, Cambridge, 1994. (A pesar de tener el mismo título que el libro anterior, esto incluye muchos más temas avanzados).

Fuente: http://math.ucr.edu/home/baez/bo…