TL DR; Si aprendió el cálculo de la manera en que lo enseñan las escuelas secundarias, entonces probablemente no sea el único culpable si el cálculo parece difícil de estudiar. Los libros de cálculo de Tom Apostol pueden ser un buen lugar para comenzar.
La Respuesta Larga:
Mis 2 centavos según cómo se enseña el cálculo en las escuelas secundarias (y está muy inspirado en el libro de 2 volúmenes de Tom Apostol):
- ¿Debo reaparecer para la clase 12?
- ¿Es la matrícula necesaria en la clase 9?
- Cómo estudiar en IIT gratis
- ¿Cuánto debo pagar por el diseño web?
- Cómo estudiar en Alemania por ser un indio barato
El cálculo, y cualquier otro tema, es difícil y aburrido de estudiar, a menos que entiendas lo que motiva al tema y tengas un marco para razonar al respecto. En lo que respecta a la mayoría de los sistemas educativos, este paso se omite por completo. Por razones que están más allá de mi comprensión, nuestros educadores de matemáticas tienen prisa por comenzar a calcular los límites, diferenciar e integrar funciones no triviales y resolver ecuaciones diferenciales simples. Este enfoque (si puede llamarse así) es una injusticia criminal para las matemáticas y para los estudiantes. Ciertos límites, diferenciales e integrales se consideran fundamentales y están marcados para memorización. Luego se aplican en algunas combinaciones de acuerdo con alguna “lista de propiedades”. Por supuesto, algún servicio de labios se paga a los “primeros principios”. La consecuencia es que el cálculo se percibe como una mezcla de conceptos oscuros con propiedades aparentemente intuitivas que, cuando se aplican en algunas combinaciones inteligentes, producen los resultados deseados. Por supuesto, toda resolución de problemas involucra el uso creativo de cosas conocidas. Y el sujeto fue efectivamente construido por tales métodos. Pero los estudiantes, sin un marco conceptual y una base rigurosa, están obligados a golpear una pared en su comprensión muy pronto. Ese es el problema fundamental con este enfoque.
Para ilustrar mi punto:
¿Están los estudiantes familiarizados con las nociones geométricas fundamentales sobre las cuales se construye el cálculo en primer lugar? Centrémonos en ‘área’ por ejemplo. Pregúntele a cualquier alumno de 10º grado el área de, por ejemplo, un triángulo o un círculo, y él / ella sacará inmediatamente la fórmula correspondiente. Pregúnteles qué significa área sin ninguna referencia a formas específicas. Las respuestas irán desde referencias a otros términos que no pueden definir, a miradas en blanco. Y ahora han encontrado una pregunta muy hermosa. ¿Es incluso posible definir un concepto tan abstracto? ¿Qué sentido tiene calcular áreas bajo curvas complejas si no tiene la primera idea de lo que es? ¿Sobre qué base está haciendo todo tipo de suposiciones no escritas sobre esta cantidad de “área” cuando divide la región debajo de una curva en rectángulos y agrega sus “áreas” para calcular el área de una región? ¿Y por qué dividirse en rectángulos? ¿La última pregunta suena fácil? Si es así, vaya a la primera pregunta y pregúntese: ¿por qué el área de un rectángulo de algunas dimensiones especificadas se calcula de la forma en que es?
A medida que sucede, esta simple pregunta intrigó a los matemáticos de los siglos XVIII y XIX, y lo que surgió de estas deliberaciones fue el “enfoque axiomático”. No es realmente tan complicado. Los estudiantes de secundaria ya han visto este enfoque con la geometría euclidiana. Básicamente, cuando desea definir un concepto como ‘área’, identifica algunas propiedades fundamentales sobre este concepto llamado ‘área’. Estableces estas propiedades como autoevidentes (axiomas). Luego continúa para indicar que cualquier función que asigne regiones (conjuntos de números reales) a números reales que cumplan estas condiciones se denomina función de área, o simplemente área. Luego, aplicando las leyes de deducción (google ‘modus ponens’), derivará las otras propiedades. Tenga en cuenta que uno de estos axiomas podría ser el área de un rectángulo. Cómo llegar a una axiomatización es una cuestión profunda en sí misma y los matemáticos gastan un gran esfuerzo para comprender correctamente muchos conceptos. Pero esa es una pregunta para otro día (un buen maestro podría dejar esta pregunta abierta).
Se podría decir que todo esto es una exageración. Basta con tener una comprensión intuitiva de tales conceptos. Supongamos que concedo esto y renuncio a la definición axiomática de ‘área’ y recurro a la noción intuitiva de áreas. ¿Cómo se definen las integrales? Como el límite de una suma que corresponde al área bajo una curva. Ahora estás en un aprieto. Debido a que no definió las áreas correctamente, no puede establecer propiedades significativas de integrales a menos que las establezca como axiomas. Supongamos que renuncia a la definición basada en áreas y utiliza el límite de la definición de la suma, probablemente mencionaría que está utilizando números reales. Ahora te pregunto esto: ¿por qué no atenerse a los racionales? Y ahora está deshecho porque nunca se molestó en dar una definición axiomática de reales, incluido el axioma de límite inferior superior. Y esto es solo una línea de razonamiento.
En esta etapa espero que mi punto se vuelva claro. Resumir:
- Debe comprender el enfoque axiomático de definir conceptos abstractos y probar teoremas usando argumentos deductivos que pueden rastrearse hasta los axiomas. Esta es la base sobre la cual descansan las matemáticas.
- Si se saltan conceptos básicos como secuencias, series y convergencia, puede ser muy difícil entender la motivación para el desarrollo del cálculo. ¿Por qué lo necesitas? ¿Qué problemas resuelve? ¿Por qué se introduce el cálculo con funciones con un dominio y rango reales? Esto hará que sea mucho más difícil introducir conceptos como los límites y la continuidad en una etapa posterior.
- Es importante derivar las primeras integrales / límites sin tener que recurrir a nociones crudas (y desactualizadas, a menos que esté estudiando los hiperrealistas, que no son relevantes aquí) de infinitesimales.
- La intuición solo te llevará hasta el momento en matemáticas, si no puedes formalizarlo.
Si mi respuesta sigue sin estar clara (pido disculpas por la falta de brevedad), recomendaría leer los dos primeros capítulos del cálculo de Tom Apostol (incluido el capítulo 0). Toda mi respuesta se basa en la forma en que se presenta y se presenta el tema allí.
A los matemáticos: no estoy recomendando la introducción del análisis adecuado. Eso sería de hecho una exageración. Pero, como muestra el libro de Tom Apostol, eso no es esencial para dar una base conceptual firme para el cálculo. Y puede hacer mucho para motivar a los estudiantes.
