¿Qué tipo de ecuación es esta y ha sido estudiada antes? Mantén la curiosidad y sigue aprendiendo

Al derivar la ecuación de onda en una cadena, se puede ver que en una etapa antes del paso final, la ecuación de cuerda vibrante se parece a una única ecuación combinada del electromagnetismo. Esto, por supuesto, no es del todo extraño, pero ser capaz de ver el lugar de los campos “eléctrico” y “magnético” en una ecuación puramente mecánica es nuevo. Después de elegir un elemento diferencial y las fuerzas sobre él, obtenemos; ∂ / ∂x (T ∂ A / ∂x) = ∂ / ∂t (R ∂A / ∂t), donde A es el desplazamiento vertical de la cuerda, ‘T’ es la tensión en la cuerda y ‘R’ Es su densidad lineal. Esta ecuación también es aplicable a las ondas longitudinales en una barra, por ejemplo, donde el desplazamiento es longitudinal y no transversal. El siguiente paso habitual en la derivación es tomar la tensión y la densidad de la cuerda / barra para que sean constantes y obtener como resultado; c ^ 2 (∂ ^ 2 A / ∂x ^ 2) = ∂ ^ 2A / ∂ t ^ 2, donde c ^ 2 = T / R es la velocidad de onda cuadrada como de costumbre. Esta es la ecuación de onda en 1D.

Ahora vuelva a la ecuación de inicio e introduzca cuatro nuevas variables E, D, H, B. Transforme la PDE de segundo orden en dos ecuaciones de primer orden, por las sustituciones; ∂ A / ∂x = B, ∂ A / ∂t = E, H = TB, D = RE, luego obtenga de la ecuación original; ∂H / ∂x = ∂ D / ∂t. Toma ∂ / ∂x de (∂ A / ∂t = E) y obtén; ∂E / ∂x = ∂B / ∂t intercambiando el orden de la derivación parcial en A, y utilizando ∂ A / ∂x = B desde arriba. Luego poner 1 / T = μ, y R = ε, obtenemos las ecuaciones en la nueva forma;

∂E / ∂x = ∂B / ∂t, ∂H / ∂x = ∂ D / ∂t, B = μH, D = εE. Estas ecuaciones parecen que algunas de las ecuaciones de Maxwell en 1D aceptan un signo negativo necesario en el lado izquierdo de la primera ecuación. Por inspección y en comparación con las ecuaciones de Maxwell 3D, escriba el equivalente de lo anterior en 3D y obtenga; curl (T curl ( A )) = (∂ / ∂t) (R A / ∂t), o curl ( H ) = ∂ D / ∂t. Ene sta forma; B = rizo ( A ), E = ∂ A / ∂t, con negrita que representa cantidades vectoriales.

Por lo tanto, nuestra nueva ecuación vectorial podría representar la vibración 3D con propiedades de material variables de tensión T y densidad R. La velocidad de la onda es c ^ 2 = T / R = 1 / ε μ. Ahora toma ‘div’ de ( B = curl A ), y obtén; div ( B ) = 0, ya que; div curl = 0 siempre. Esta es la tercera de las ecuaciones de Maxwell. El cuarto de las ecuaciones de Maxwell; div ( D ) = ρ, se puede tomar como una definición de la densidad de carga ‘ρ’ en sí. (Esto lo he visto hecho en algunos libros de electromagnetismo).

Por lo tanto, se puede ver que la ecuación de vibraciones en una cuerda se generaliza y produce la ecuación de Maxwell ‘tipo’ electromagnética. Como esto proviene de una onda mecánica pura, le damos un subíndice mecánico m a los campos y obtenemos; curl ( H m) = ∂ ( D m) / ∂t, curl ( E m) = ∂ ( B m) / ∂t, B m = T H m, D m = R E m, div ( D m) = ρm, curvatura ( B m) = 0. Para la constante T, R podemos obtener una ecuación 3D para A en la forma; c ^ 2 ∇x∇x A m = ∂ ^ 2 A m / ∂t ^ 2. También podemos obtener ecuaciones similares para E y B como; c ^ 2 ∇ ^ 2 ( E m) = – ∂ ^ 2 E m / ∂t ^ 2, c ^ 2 ∇ ^ 2 ( B m) = – ∂ ^ 2 B m / ∂t ^ 2. Debido al signo menos, las dos últimas ecuaciones para E, B son elípticas y no hiperbólicas. El signo menos proviene de la identidad del vector; curl curl ( x) = grad (div ( x )) – grad ^ 2 ( x ) = – grad ^ 2 ( x ), como ambos div E m = 0, div B m = 0 en el espacio vacío, con grad = ∇ . El primero debido a la ausencia de fuentes y el segundo porque div curl = 0 siempre.

Tomando la velocidad de onda c = m / s, densidad = kg / m ^ 3, T = N / m ^ 2, encontramos que Dm = kg / m ^ 2, Em = m, Bm = s, Hm = kg / ( Sra). Por lo tanto, en mecánica, la fuerza motriz estática Em es el medidor o la longitud, y la fuerza motriz dinámica Bm es s, el segundo o el tiempo.

Pero si tomamos en su lugar t = it, es decir, cambiamos la dimensión de tiempo ‘real’ al tiempo ‘imaginario’ como se hace en algunas publicaciones sobre relatividad (con i ^ 2 = -1), obtenemos en lugar de lo anterior; c ^ 2 ∇ ^ 2 A = -∂ ^ 2 A / ∂t ^ 2, y las otras dos ecuaciones para E, B como; c ^ 2 ∇ ^ 2 ( E) = ∂ ^ 2 E / ∂t ^ 2, y c ^ 2 ∇ ^ 2 ( B) = ∂ ^ 2 B / ∂t ^ 2. Estas son las bien conocidas ecuaciones 3D de “onda” para los campos electromagnéticos E, B en el espacio vacío. El signo menos en la nueva ecuación para A se cancela con el uso de la identidad vectorial; curl curl ( x) = grad (div ( x )) – grad ^ 2 ( x ) = – grad ^ 2 ( x ), como antes. La existencia de campos mecánicos similares a los de los campos electromagnéticos ha sido discutida anteriormente en la literatura (desde 1893), ver; https://en.wikipedia.org/wiki/Gr….

La conclusión interesante de lo anterior es que mientras que los campos electromagnéticos dan lugar a ‘ondas’ propias / normales en el espacio, los campos Gravito-Inercial (GI) (mi nombre para el anterior) dan lugar a una ecuación elíptica que no conduce A las ondas simples como las ondas EM. Esto se ve como una consecuencia directa del hecho de que masas similares se atraen, mientras que las cargas similares se repelen, de ahí el signo menos diferenciador entre los dos conjuntos de ecuaciones. Todavía podrías tener algunas olas, supongo, pero estas tendrían amplitudes complejas en su lugar.

Otra observación interesante es que mientras que las ecuaciones ‘electromagnéticas’ para E, B son hiperbólicas / tipo onda, la ecuación para el potencial vectorial ‘ A ‘ es ‘elíptica’ y no tipo onda simple. La ecuación de onda para A en la literatura se deriva, en cambio, de suposiciones que utilizan el “ajuste de la galga”, un proceso que atrae mucha discusión y argumentos. ver la fijación del indicador. Este resultado podría tener un descubrimiento en esta discusión también. Tenga en cuenta que para llegar a esta ecuación A , se puede comenzar con las ecuaciones de Maxwell y trabajar en sentido inverso … sin pasar por la ecuación mecánica.

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