¿Es una buena idea intentar reinventar un campo de las matemáticas que aún no has estudiado?

No creo que esto sea muy útil si tu objetivo es aprender matemáticas o aprender a hacer investigación matemática.

Si su objetivo es aprender matemáticas, el principal problema con este enfoque es que es demasiado lento. La mayoría de las ramas de las matemáticas se desarrollan a lo largo de décadas por comunidades de matemáticos. Si decides intentarlo solo, debes esperar que tome mucho más tiempo.

En cuanto a la investigación, esto no es cómo se descubren las matemáticas. La teoría de grupos no surgió de un matemático que se sentó y preguntó de la nada: “Oye, ¿qué pasaría si tuviéramos un conjunto, junto con una ley de composición asociativa, teniendo un elemento de unidad tal que cada elemento tuviera una inversa?” Más bien, se produjo porque los matemáticos estaban interesados ​​en simetrías y permutaciones, y se observó que estos objetos tenían ciertas propiedades en común. Esas propiedades finalmente se conocieron como los axiomas grupales, y resultó que estos axiomas tenían muchas consecuencias interesantes.

El punto clave es que descubrir qué axiomas son interesantes es una parte importante del descubrimiento de las matemáticas. En términos generales, esto significa comenzar con ejemplos que sean interesantes y encontrar puntos en común entre algunos de estos. Si comienzas con los axiomas, te perderás toda esa diversión.

Si puedes hacer eso, ¿por qué no inventar uno nuevo?

Tratar de demostrar resultados específicos por sí mismo puede ser muy instructivo, pero no espere pasar el trabajo de otras personas solo y sin ayuda. No fue así como se hizo en primer lugar. ¡Conocer los principales resultados del trabajo de otras personas no es hacer trampa! Si tiene lo que se necesita para una investigación original, ¿por qué desperdiciarla reinventando la rueda? Y si no lo hace, ¿por qué está haciendo un problema de investigación difícil de lo que puede, sabes, simplemente aprender en su lugar?

Asi que; vuelva a trabajar algunos resultados existentes, a veces, especialmente si no está seguro de que realmente entiende, pero no intente reinventar a gran escala. La vida humana es demasiado corta.

A2A: Probablemente no. Creo que sería más fructífero para usted probar su propia mano demostrando resultados conocidos en un libro de texto antes de leer las pruebas. El problema es que, sin esa guía, estarás desconcertado para encontrar las cosas correctas para probar. A largo plazo, trabajar los ejercicios en el libro es análogo.

Hay mucho más en cualquier campo de las matemáticas que los axiomas. Consideremos la teoría del anillo, por ejemplo. En principio, puede probar cualquier teorema sobre anillos de los axiomas, pero algunos de ellos serán muy difíciles de obtener si no tiene la idea de un ideal. ¿Cuánto tiempo te tomaría reinventar eso por tu cuenta? ¿Cuánto tiempo le llevará aprender los trucos estándar que se utilizan para demostrar los resultados sobre los ideales?

Es mucho mejor leer libros y hacer ejercicios. Los autores saben qué es importante y qué técnicas necesitarás. No lo harás, y estarás haciendo girar tus ruedas durante mucho tiempo tratando de redescubrir esas cosas.