¡Teoría de grafos!
Un “gráfico” podría no ser lo que crees que es. No es lo que aprendes en el álgebra de la escuela secundaria, donde graficas una función.
En su lugar, una gráfica es solo un conjunto de puntos (llamados “nodos” o “vértices”), algunos de los cuales están conectados entre sí por líneas (llamados “bordes”). Me gusta esto:
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Puedes obtener un poco más sofisticado, donde permites que algunos bordes tengan flechas. O podría haber múltiples aristas entre dos vértices. O los vértices podrían estar conectados a sí mismos. Me gusta esto:
Pero básicamente, eso es tan elegante como se puede conseguir.
Bueno, eso es un gráfico, hablando en abstracto. ¿De dónde vienen los gráficos en las aplicaciones? Toneladas y toneladas de lugares. Algunos ejemplos fáciles:
- Redes sociales. Cada nodo es una persona, cada borde significa una relación de “amigo”.
- Redes de comunicaciones. Cada nodo es una computadora, cada borde es un canal de comunicación. (Tenga en cuenta que este puede ser un gráfico más elegante … puede haber dos bordes entre dos computadoras, por ejemplo, si están conectadas por cable y también pueden comunicarse de forma inalámbrica).
- Geografía. Cada nodo representa una ubicación (como una ciudad), y cada borde representa una ruta de viaje directa de una ciudad a otra. Nuevamente, cada ciudad puede tener más de un borde, por ejemplo, si uno puede conducir o volar o tomar un bote de una ciudad a otra.
- Anatomía. Cada nodo representa una estructura anatómica en un organismo, y cada borde representa una capacidad para transferir materia biológica de una estructura a la siguiente. Las “estructuras” pueden ser cosas obvias como el estómago o el cerebro. Pero podrían ser un poco menos obvios, como un nodo que representa el suministro de sangre del organismo. Por lo tanto, en una gráfica de este tipo, casi todo está conectado al nodo “sangre”.
Bueno, esos son algunos ejemplos, y obviamente hay muchos más. Entonces, ¿qué es la “teoría de grafos”? Hay muchas preguntas naturales que uno podría hacer sobre un gráfico:
- Uno podría querer saber si hay bucles cerrados. (A modo de ilustración, en el gráfico inmediatamente anterior, hay un bucle del nodo 1 al 2 al 3, de vuelta al 1. No hay bucles que contengan el nodo 6).
- Uno podría querer saber cuántas rutas hay de un nodo a otro. (Quizás desee contar solo ciertos caminos … como los que no contienen bucles, o los que no pasan por un vértice dado).
- Uno podría querer poder encontrar rápidamente la ruta más corta de un nodo a otro.
- Uno podría querer saber si una gráfica tiene una cierta “sub-gráfica” que vive dentro de ella.
- Uno podría querer saber si un gráfico se puede dibujar con ciertas restricciones (como que no se crucen dos bordes, o con tantos y tantos vértices de colores diferentes donde no hay dos vértices conectados que tengan el mismo color).
Todas estas preguntas pueden parecer un tanto artificiales, pero todas tienen aplicaciones prácticas. Por ejemplo, tome una gráfica que represente la anatomía de un organismo. Supongamos que eres un investigador biológico y quieres estudiar cómo se distribuye una toxina en todo el organismo. Un enfoque es describir la anatomía del organismo en una gráfica, luego aplicar técnicas de teoría de gráficas (en conjunto con otras áreas de las matemáticas; lo más importante, ecuaciones diferenciales) para obtener una idea.
Y esto me lleva al descargo de responsabilidad: las matemáticas no están “realmente” divididas en temas separados como la teoría de grafos o las ecuaciones diferenciales. Las matemáticas son un todo unificado, pero los seres humanos lo dividen en temas por conveniencia. (Después de todo, es mucho más conveniente tener libros llamados “teoría de grafos” y “ecuaciones diferenciales” que tener libros llamados “parte de la matemática unificada” y “otra parte de la matemática integral” . “)
El punto es que no llegarás muy lejos en matemáticas, especialmente en matemáticas aplicadas, sin cruzar ocasionalmente los límites entre las áreas de las matemáticas.
Pero a pesar de todo, la teoría gráfica es muy accesible. No necesariamente lo llamaría “más fácil” que otras áreas de las matemáticas, pero es fácil ponerse al día rápidamente. Es posible que haya escuchado a menudo a alguien (probablemente un profesor de matemáticas) decir que las matemáticas se basan en sí mismas, lo que significa que cada concepto se usa de alguna manera para definir el siguiente concepto. La teoría de grafos es una especie de excepción a eso. Una vez que domines un vocabulario muy básico, puedes ir a millones de direcciones de inmediato, sin tener que construir un edificio teórico completo como el que deberías hacer en otras áreas de las matemáticas.
