¿Debo continuar mis estudios, o comenzar directamente a trabajar?

La mejor respuesta sería hacer ambas cosas. Para muchos puestos de desarrollo web, ni siquiera necesitas un título. Para los trabajos de contratación del gobierno, se requerirá una licenciatura. La concentración específica del grado no importará mientras tenga el conocimiento relevante. He visto a personas con títulos en Comunicaciones y Psicología convertirse en desarrolladores expertos simplemente porque dedican tiempo y esfuerzo para aprender los matices del oficio.

El trabajo que haga por su cuenta lo definirá en esta industria. Mucho más que títulos o incluso certificaciones. Los proyectos paralelos e incluso los proyectos sin terminar le ahorrarán en entrevistas de trabajo. Simplemente sube todo a tu GitHub. Asegúrese de relacionar lo que trabaja con lo que la empresa necesita. ¿Qué framework / idioma del lado del servidor usas? ¿Eres competente en JavaScript? ¿Tiene experiencia en las devoluciones de llamadas y promesas de jQuery o Angular o incluso de JavaScript simple? Trate de implementar estos en su código y esté preparado para explicar por qué los necesita (o no).