No soy un experto en este tema; De hecho, he aprendido que es básico hace unos meses.
Creo que la razón principal es que conseguimos una forma de integrar funciones que se ocupan muy bien de las operaciones de límite.
Por ejemplo, el límite (puntual) de las funciones integrables de Riemann puede no ser integrable de Riemann. Sin embargo, el límite de las funciones medibles es de nuevo medible.
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Además, tenemos teoremas de convergencia como el teorema de convergencia monótono y el teorema de convergencia dominado cuyos análogos ni siquiera son verdaderos para las integrales de Riemann ya que el límite no puede ser integrable por Riemann. Incluso si fuera, que yo sepa, no hay una manera fácil de probarlo.
Otro uso de la teoría de la medida es la teoría de la probabilidad. Tal tratamiento le permite combinar variables aleatorias discretas y continuas de una manera elegante, por ejemplo. Además, puede usar los teoremas de convergencia indicados anteriormente para, por ejemplo, probar algunas propiedades de los valores esperados de variables aleatorias.
