Hmm, veamos. Solo para aclarar, voy a publicar la pregunta de la que se habla:
Se ha dado la siguiente relación:
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[math] 2 \ left (\ cos \ beta – \ cos \ alpha \ right) + \ cos \ alpha \ cos \ beta = 1 [/ math]
Por la sustitución Weierstrass escribimos [math] \ cos \ alpha = \ dfrac {1 – \ tan ^ 2 \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} {1 + \ tan ^ 2 \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} [/ math] and [math] \ cos \ beta = \ dfrac {1 – \ tan ^ 2 \ left (\ frac {\ beta} {2} \ right)} { 1 + \ tan ^ 2 \ left (\ frac {\ beta} {2} \ right)} [/ math] para obtener,
[math] 2 \ left (\ dfrac {1 – \ tan ^ 2 \ left (\ frac {\ beta} {2} \ right)} {1 + \ tan ^ 2 \ left (\ frac {\ beta} {2 } \ derecha)} – \ dfrac {1 – \ tan ^ 2 \ izquierda (\ frac {\ alpha} {2} \ derecha)} {1 + \ tan ^ 2 \ izquierda (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} \ right) + \ dfrac {1 – \ tan ^ 2 \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} {1 + \ tan ^ 2 \ left (\ frac {\ alpha} { 2} \ derecha)} \ cdot \ dfrac {1 – \ tan ^ 2 \ izquierda (\ frac {\ beta} {2} \ derecha)} {1 + \ tan ^ 2 \ izquierda (\ frac {\ beta} { 2} \ right)} = 1 [/ math]
Simplificar para obtener,
[math] \ tan ^ 2 \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) – 3 \ tan ^ 2 \ left (\ frac {\ beta} {2} \ right) = 0 [/ math]
[math] \ implica \ left [\ tan \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) + \ sqrt {3} \ tan \ left (\ frac {\ beta} {2} \ right) \ right ] \ left [\ tan \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) – \ sqrt {3} \ tan \ left (\ frac {\ beta} {2} \ right) \ right] = 0 [ /mates]
Lo primero que se debe tener en cuenta es que [math] (x + y) (x – y) = 0 [/ math] no necesariamente implica que tanto [math] x + y = 0 [/ math] y [math] x – y = 0 [/ math] son verdaderos Es posible que solo uno de estos sea verdadero y satisfaga la condición.
Una solución particular que satisface [math] 2 \ left (\ cos \ beta – \ cos \ alpha \ right) + \ cos \ alpha \ cos \ beta = 1 [/ math] es [math] \ alpha = \ dfrac {\ pi } {2}, \ beta = \ dfrac {\ pi} {3}. [/ Math] Esto es válido para [math] \ tan \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) – \ sqrt { 3} \ tan \ left (\ frac {\ beta} {2} \ right) = 0 [/ math] pero no para [math] \ tan \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) + \ sqrt {3} \ tan \ left (\ frac {\ beta} {2} \ right) = 0. [/ math]
Dado que la pregunta pregunta claramente “cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera”, ninguna de las opciones debería ser correcta. Esto se debe a que hay infinitas [math] \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R} [/ math] que satisfacen [math] 2 \ left (\ cos \ beta – \ cos \ alpha \ right) + \ cos \ alpha \ cos \ beta = 1 [/ math] pero no una de estas opciones: [math] \ tan \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) – \ sqrt {3} \ tan \ left (\ frac {\ beta} {2} \ right) = 0 \ Biggr {/} \ tan \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) + \ sqrt {3} \ tan \ left (\ frac {\ beta} {2} \ derecha) = 0. [/ math]
Observamos un conjunto de soluciones que solo satisface [math] \ tan \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) – \ sqrt {3} \ tan \ left (\ frac {\ beta} {2} \ right) = 0: [/ math]
[math] \ displaystyle \ bigcup_ {n \ in \ mathbb {Z}} \ left \ {\ alpha = 2n \ pi + \ dfrac {\ pi} {2}, \ beta = 2n \ pi + \ dfrac {\ pi } {3} \ right \} [/ math]
La pregunta podría haberse formulado mejor usando el símbolo ‘[math] \ existencia [/ math]’ y escribiendo las opciones de la siguiente manera:
- [math] \ existencia \ left (\ alpha, \ beta \ right) \, st \, \ tan \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) – \ sqrt {3} \ tan \ left (\ frac {\ beta} {2} \ derecha) = 0 [/ math]
que se traduce como “existe al menos un par [math] \ left (\ alpha, \ beta \ right) [/ math] tal que [math] \ tan \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right) – \ sqrt {3} \ tan \ left (\ frac {\ beta} {2} \ right) = 0 [/ math] “.
