Aquí hay un enfoque pedagógico simple para sumar esta serie basada en una fórmula de representación integral que obtuve en una publicación anterior. Consideremos una serie ligeramente generalizada.
[math] \ displaystyle S (x) \ equiv \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n ^ 2} {x ^ n} [/ math]
con [math] x [/ math] un número real positivo por el momento. Nos interesa el caso particular [math] S (e) [/ math].
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Ahora, considere (para [math] x [/ math] positivo, y [math] n \ geq 1 [/ math]) la integral
[math] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} t ^ {n-1} e ^ {- xt} \ mathrm {d} t, [/ math]
el cual, al dejar [math] u = xt [/ math] toma la forma
[math] \ displaystyle = x ^ {- n} \ int_0 ^ {\ infty} u ^ {n-1} e ^ {- u} \ mathrm {d} u = \ frac {\ Gamma (n)} {x ^ n} [/ math]
y produce una bonita representación integral de la función.
[math] \ displaystyle \ frac {1} {x ^ n} = \ frac {1} {\ Gamma (n)} \ int_0 ^ {\ infty} t ^ {n-1} e ^ {- xt} \ mathrm {d} t. [/ math]
Al conectar este resultado en el sumando de [math] S (x) [/ math], y notando que [math] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ Math] obtenemos
[math] \ displaystyle S (x) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n ^ 2} {(n-1)!} \ int_0 ^ {\ infty} t ^ {n-1 } e ^ {- xt} \ mathrm {d} t = \ int_0 ^ {\ infty} \ mathrm {d} t ~ e ^ {- xt} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n ^ 2} {(n-1)!} T ^ {n-1}. ~~~~~ (A) [/ math]
Vamos a hacer una breve digresión para sumar la serie [math] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n ^ 2} {(n-1)!} T ^ {n-1} [/ math].
Comenzando con la serie de Taylor [math] e ^ t = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {t ^ n} {n!} [/ Math], tenemos
[math] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} e ^ t = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {n} {n!} t ^ { n-1} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {t ^ {n-1}} {(n-1)!} [/ math]
[math] \ displaystyle \ Rightarrow t \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} e ^ t = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {t ^ n} {( n-1)!} [/ math]
[math] \ displaystyle \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} t \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} e ^ t = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n} {(n-1)!} T ^ {n-1} [/ math]
[math] \ displaystyle \ Rightarrow t \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} t \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} e ^ t = \ sum_ { n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n} {(n-1)!} t ^ n [/ math]
[math] \ displaystyle \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} t \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} t \ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t} e ^ t = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n ^ 2} {(n-1)!} t ^ {n-1}, [ /mates]
por lo tanto
[math] \ displaystyle \ boxed {\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n ^ 2} {(n-1)!} t ^ {n-1} = \ left (\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} t \ right) ^ 2e ^ t = (t ^ 2 + 3t + 1) e ^ t} [/ math]
Sustituyendo este resultado en la ecuación [math] (A) [/ math], obtenemos
[math] \ displaystyle S (x) = \ int_0 ^ {\ infty} \ mathrm {d} t (t ^ 2 + 3t + 1) e ^ {- (x-1) t} [/ math]
que dice claramente que [math] S (x) [/ math] solo está bien definido para [math] x> 1 [/ math], algo que podría haberse deducido de la prueba de razón.
Finalmente, podemos obtener una expresión de forma cerrada para [math] S (x): [/ math]
[math] \ displaystyle S (x) = \ int_0 ^ {\ infty} \ mathrm {d} t (t ^ 2 + 3t + 1) e ^ {- (x-1) t} [/ math]
[math] \ displaystyle = \ frac {2} {(x-1) ^ 3} + \ frac {3} {(x-1) ^ 2} + \ frac {1} {x-1} [/ math]
Que se puede simplificar para llegar a
[math] \ displaystyle \ boxed {S (x) = \ frac {x (x + 1)} {(x-1) ^ 3}}. [/ math]
Esto concuerda con la solución presentada por Anmol Ratnam al establecer [math] x = e [/ math].
OTRAS GENERALIZACIONES
Podemos generalizar fácilmente este método para sumar una serie relacionada:
[math] \ displaystyle S_k (x) \ equiv \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n ^ k} {x ^ n}, ~~~ k = 0,1,2… [/ math ]
donde [math] k = 0 [/ math] corresponde a la serie geométrica, mientras que [math] k = 2 [/ math] da la serie obtenida anteriormente. Una expresión de forma cerrada para [math] S_k (x) [/ math] se obtiene usando los mismos pasos anteriores, donde
[math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n ^ k} {(n-1)!} t ^ {n-1} = \ left (\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t} t \ right) ^ ke ^ t ~~~~~ (B) [/ math]
resulta ser el análogo del resultado en caja, que se vuelve un poco tedioso para trabajar cuando [math] k [/ math] se hace grande. Sin embargo, es evidente que la acción repetida del operador diferencial en [math] e ^ t [/ math] da como resultado un polinomio multiplicando [math] e ^ t [/ math], es decir
[math] \ displaystyle \ left (\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} t \ right) ^ ke ^ t = P_k (t) e ^ {t}, [/ math]
donde [math] P_k (t) [/ math] es un polinomio. De esta ecuación se desprende una fórmula ‘similar a Rodrigues’ para una familia de polinomios dada por
[math] \ displaystyle P_k (t) = e ^ {- t} \ left (\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} t \ right) ^ ke ^ t [/ math]
que puede usarse para generar los primeros miembros de la familia (no estoy seguro de ningún nombre especial ganado por estos polinomios, o de su aparición en aplicaciones útiles):
[math] P_0 (t) = 1 [/ math]
[math] P_1 (t) = 1 + t [/ math]
[math] P_2 (t) = 1 + 3t + t ^ 2 [/ math]
[math] P_3 (t) = 1 + 7t + 6t ^ 2 + t ^ 3 [/ math]
[math] P_4 (t) = 1 + 15t + 25t ^ 2 + 10t ^ 3 + t ^ 4 [/ math]
[math] P_5 (t) = 1 + 31t + 90t ^ 2 + 65t ^ 3 + 15t ^ 4 + t ^ 5 [/ math]
Como se señaló anteriormente, no podemos llegar demasiado lejos con esta fórmula, por lo que se desea un mejor método. Podemos obtener una relación de recurrencia simple para estos polinomios, observando que
[math] \ displaystyle P_k (t) = e ^ {- t} \ left (\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} t \ right) ^ ke ^ t = e ^ {- t } \ left (\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} t \ right) \ left (\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} t \ right) ^ {k-1} e ^ t [/ math]
[math] \ displaystyle = e ^ {- t} \ left (\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} t \ right) e ^ te ^ {- t} \ left (\ frac { \ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} t \ right) ^ {k-1} e ^ t [/ math]
[math] \ displaystyle = e ^ {- t} \ left (\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} t \ right) e ^ tP_ {k-1} (t) = e ^ {-t} \ left [e ^ tP_ {k-1} (t) + te ^ tP_ {k-1} (t) + te ^ tP ‘_ {k-1} (t) \ right], [/ mates]
donde “prime” denota un derivado wrt [math] t, [/ math] obteniendo así
[math] \ displaystyle \ boxed {P’_k (t) = \ frac {P_ {k + 1} (t)} {t} – \ left (1+ \ frac {1} {t} \ right) P_k ( t)} [/ math]
que puede servir como base para programas informáticos simples para generar estos polinomios.
Uno podría preguntarse si se pueden obtener expresiones cerradas para [math] P_k (t) [/ math]? Mi conjetura sería sí , si explotamos la fórmula de recurrencia anterior para encontrar una ecuación diferencial para la función de generación de estos polinomios. Posponemos este ejercicio para una ocasión posterior.
De nuevo, siguiendo nuestra evaluación de [math] S_k (x) [/ math], tenemos
[math] \ displaystyle S_k (x) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n ^ k} {x ^ n} = \ int_0 ^ {\ infty} \ mathrm {d} t ~ e ^ {- xt} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n ^ k} {(n-1)!} t ^ {n-1} [/ math]
[math] \ displaystyle = \ int_0 ^ {\ infty} \ mathrm {d} t ~ e ^ {- xt} e ^ {t} P_k (t) [/ math]
que sigue de la ecuación [math] (B) [/ math]. La integral en el rhs, arriba, es simplemente la transformada de Laplace de [math] P_k (t), [/ math] evaluada en [math] x-1 [/ math], por lo tanto
[math] \ displaystyle \ boxed {\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n ^ k} {x ^ n} = \ mathcal {L} \ left [P_k \ right] (x-1) }[/mates]
donde [math] \ mathcal {L} [f] (s) [/ math] denota la transformada de Laplace de [math] f [/ math]. Se verifica fácilmente que esta fórmula reproduce el resultado obtenido previamente para [math] k = 2 [/ math].
Saludos!
EDITAR: Muchas gracias al profesor Mike Wilkes, quien se tomó la molestia de tapar muchas lagunas en la presentación. Su contribución ha mejorado significativamente el atractivo de mi respuesta. Muchas gracias !
