* Por favor verifíquelo regularmente ya que lo actualizaré de vez en cuando, con referencia más adelante
** Antes de marcarlo como “Necesita mejorar”, por favor, coménteme o envíeme un mensaje directamente sobre cuál es el problema. Y si es posible lo haré necesario editar. Pero si lo marca “Necesitando mejoras”, la respuesta se vuelve invisible y muchos estudiantes no podrán verla.
*** También le sugiero que tome algunos problemas que ha hecho anteriormente y aplique estos métodos, verifique y compare los resultados, también el tiempo de trabajo y avíseme en los comentarios si tiene algún problema.
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Gracias A2A
Puedo recordar algunos de ellos
Serie de taylor
[math] f (x) = f (a) + f ^ {\ prime} (a) (x – a) + \ dfrac {f ^ {\ prime \ prime} (a)} {2!} (x – a) ^ 2 + \ dfrac {f ^ {(3)} (a)} {3!} (x – a) ^ 3 + \ cdots + \ dfrac {f ^ {(n)} (a)} {n !} (x – a) ^ n + \ cdots [/ math]
Ahora si tomamos [math] a = 0 [/ math]
[math] f (x) = f (0) + f ^ {\ prime} (0) x + \ dfrac {f ^ {\ prime \ prime} (0)} {2!} x ^ 2 + \ dfrac { f ^ {(3)} (0)} {3!} x ^ 3 + \ cdots + \ dfrac {f ^ {(n)} (0)} {n!} x ^ n + \ cdots [/ math]
Aquí [math] a [/ math] es el centro de expansión que no necesita saber esto
pero quiero decir, ya sabes
[math] e ^ x = 1+ x + \ dfrac {x ^ 2} {2!} + \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ cdots [/ math]
Podemos escribir esto también en
[math] e ^ x = e ^ 2 + e ^ 2 (x – 2) + \ dfrac {e ^ 2} {2!} (x – 2) ^ 2 + \ dfrac {e ^ 2} {3!} (x – 2) ^ 3 + \ cdots + \ dfrac {e ^ 2} {n!} (x – 2) ^ n + \ cdots [/ math]
La única diferencia es que el centro de expansión es [math] a = 2 [/ math] {es decir, [math] (x-2) [/ math] el término está ahí} mientras que anteriormente el centro es [math] a = 0 [/ math] {es decir [math] x [/ math]}
Valores propios y vectores propios (matrices):
Es un tema muy grande y probablemente solo necesite una parte en particular. Para mí cuál es la ecuación característica.
¿Por qué necesitas esto?
En el examen, supongamos que puede haber una pregunta “vamos a [math] A [/ math] es una matriz [math] (3 \ times 3) [/ math] donde [math] A ^ 3 + 24A + 56I = \ hat {0} [/ math], donde [math] I [/ math] es [math] (3 \ times 3) [/ math] matriz de identidad y [math] \ hat {0} [/ math] es [math] (3 \ times 3) [/ math] matrix cero, Encuentre [math] A ^ {99} [/ math] ”
Ahora la mayoría de ustedes puede hacerlo. Pero si la ecuación [math] A ^ 3 + 24A + 56I = \ hat {0} [/ math], no se da. Solo se da la matriz [math] A [/ math], entonces, ¿cómo lo harás?
¿Para esto debes saber cómo viene la ecuación [math] A ^ 3 + 24A + 56I = \ hat {0} [/ math]? Esta ecuación se llama ecuación característica de la matriz [math] A [/ math]
Así que para esto debes saber la definición de Eigenvalues y Eigen-vectores
Entonces, [math] A [/ math] es una matriz cuadrada [math] (n \ times n) [/ math] y [math] x [/ math] no es cero [math] (n \ times 1) [ / matematica] columna vectorial. Ahora si esto sucede
[math] \ qquad \ qquad \ qquad \ boxed {Ax = = lambda x} [/ math]
Donde [math] \ lambda [/ math] es una constante o escalar, entonces [math] \ lambda [/ math] se llama Valor propio de la matriz [math] A [/ math] y [math] x [/ math] is el correspondiente Eigen-vector de Eigenvalue [math] \ lambda [/ math]
Ahora podemos escribir
[math] Ax = \ lambda x [/ math]
[math] \ Rightarrow (A – \ lambda I) x = \ hat {\ hat {0}} [/ math]
Donde [math] I [/ math] es [math] (n \ times n) [/ math] matrix de identidad y [math] \ hat {\ hat {0}} [/ math] es [math] (n \ times 1) [/ math] cero vector
Y ahora para encontrar la ecuación característica que tienes que hacer primero escribe
[math] det (A – \ lambda I) = 0 [/ math]
y reemplaza [math] \ lambda [/ math] con [math] A [/ math]
Ejemplo:
Dejar
[math] A = \ begin {pmatrix} 1 & -3 & -3 \\\\ 3 & -5 & 3 \\\\ 6 & -6 & 4 \ end {pmatrix} [/ math]
Ahora tenemos que encontrar [math] A – \ lambda I [/ math]
[math] = \ begin {pmatrix} 1 & -3 & -3 \\\\ 3 & -5 & 3 \\\\ 6 & -6 & 4 \ end {pmatrix} – \ begin {pmatrix} \ lambda & 0 & 0 \\\\ 0 & \ lambda & 0 \\\\ 0 & 0 & \ lambda \ end {pmatrix} [/ math]
[math] = \ begin {pmatrix} 1- \ lambda & -3 & -3 \\\\ 3 & -5- \ lambda & 3 \\\\ 6 & -6 & 4- \ lambda \ end {pmatrix} [/mates]
Ahora escribe [math] det (A – \ lambda I) = 0 [/ math]
[math] \ Rightarrow \ begin {vmatrix} 1- \ lambda & -3 & -3 \\\\ 3 & -5- \ lambda & 3 \\\\ 6 & -6 & 4- \ lambda \ end {vmatrix } = 0 [/ math]
Al simplificar puedes obtener
[math] \ Rightarrow \ begin {vmatrix} 1- \ lambda & -3 & -3 \\\\ 3 & -5- \ lambda & 3 \\\\ 6 & -6 & 4- \ lambda \ end {vmatrix } = {- \ lambda} ^ 3 – 24 \ lambda – 56 = 0 [/ math]
[math] \ Rightarrow {\ lambda} ^ 3 + 24 \ lambda + 56 = 0 [/ math]
Ahora reemplaza [math] \ lambda [/ math] con [math] A [/ math], multiplica la constante por [math] I [/ math] y reemplaza [math] 0 [/ math] por [math] \ hat {0} [/ math] obtendrás
[math] \ qquad \ qquad \ boxed {A ^ 3 + 24 A + 56I = \ hat {0}} [/ math]
Esta es la ecuación característica de la matriz [math] A [/ math]. Con este método puedes ir para más cálculos. No necesitas saber nada más que esto en Eigenvalues y Eigen-Vectors.
Esta ecuación característica tiene algunas propiedades.
- No de valores no nulos de [math] \ lambda [/ math] en la ecuación característica es el rango de la matriz [math] A [/ math] Aquí [math] {\ lambda} ^ 3 +24 \ lambda +56 = 0 [/ math] tiene un término constante distinto de cero [math] 56 [/ math] y la potencia máxima de [math] \ lambda [/ math] es [math] 3 [/ math]. Así que todas las [math] \ lambda [/ math] no son cero. Entonces rango [math] 3 [/ math]
- El determinante de la matriz [math] A [/ math] es producto de los valores propios de [math] A [/ math] Aquí [math] {\ lambda} ^ 3 +24 \ lambda +56 = 0, [/ math] producto de [math] \ lambda [/ math] ‘s es decir, [math] \ lambda_1. \ lambda_2. \ lambda_3 = -56 [/ math]. Entonces, el factor determinante de [math] A [/ math] es [math] -56 [/ math]
- Pero tenga en cuenta que debe hacer que la potencia más alta de la ecuación característica sea igual a la dimensión de la matriz para encontrar el determinante de la matriz [math] A [/ math].
Ejemplo
Si la ecuación característica de una matriz [math] A [/ math] es
[math] A ^ 2 + 5A + 6I = \ hat {0} [/ math]
pero [math] A [/ math] es una matriz de [math] (3 \ times 3) [/ math], tienes que multiplicar la ecuación con [math] A [/ math] nuevamente para obtener el máximo poder [math] 3 [/ math] ( Dimensión [math] 3 [/ math])
Entonces [math] A (A ^ 2 + 5A + 6I) = \ hat {0} [/ math]
[math] \ Rightarrow A ^ 3 + 5A ^ 2 + 6A = \ hat {0} [/ math]
Ahora producto de [math] \ lambda [/ math] ‘s ie [math] \ lambda_1. \ Lambda_2. \ Lambda_3 = 0 [/ math].
Entonces, el factor determinante de [math] A [/ math] es [math] 0 [/ math] - Por lo tanto, a partir de la ecuación característica de una matriz, se puede decir que es posible o no un inverso de la Matriz pero no hacer esto
[math] A ^ 2 + 5A + 6I = \ hat {0} [/ math] y [math] A [/ math] es un [math] (3 \ times 3) [/ math]
Así que esto está mal
[math] A ^ {- 1} (A ^ 2 + 5A + 6I) = \ hat {0} [/ math]
[math] \ Rightarrow A + 5I + 6A ^ {- 1} = \ hat {0} [/ math]
[math] \ Rightarrow A ^ {- 1} = – \ dfrac {A + 5I} {6} [/ math]
A partir del punto anterior Det [math] A [/ math] es cero, así que esto no será posible
Teorema de Caley Hamilton:
También es un buen método para reducir un polinomio de matriz. Pero solo es útil si puedes encontrar las raíces de la ecuación característica de la matriz [matemáticas] A [/ matemáticas]
Por esto puede encontrar [math] e ^ A, \ sin {A}, \ tan {A} [/ math] etc. Donde [math] A [/ math] es una matriz
Vea esta respuesta “Respuesta de Rajdeep Biswas a ¿Cómo resuelve la pregunta en la descripción a continuación?” Para detalles.
Función Beta:
La forma principal es
[math] \ qquad \ qquad \ boxed {\ beta (m, n) = \ displaystyle \ int_0 ^ {1} t ^ m (1 – t) ^ n \, dt} [/ math]
Necesitas saber la forma alternativa de esto que es
[math] \ qquad \ qquad \ boxed {\ beta (m, n) = \ displaystyle 2 \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {2m-1} {x} \ cos ^ { 2n-1} {x} \, dx} [/ math]
Donde [math] m> 0 [/ math] y [math] n> 0 [/ math]
Puedes convertir lo anterior desde el formulario principal muy fácilmente.
¿Por qué necesitas esta función Beta?
Esto es porque puedes convertir Beta para gamma funciona fácilmente
Ahora
Función gamma:
[math] \ qquad \ qquad \ boxed {\ Gamma (n) = \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} t ^ {n-1} e ^ {- t} \, dt} [/ math]
Donde [math] n> 0 [/ math]
Y hay algunos resultados fáciles.
[math] \ Gamma (n + 1) = n \ Gamma (n) [/ math]
[math] \ Gamma (1) = 1 [/ math]
[math] \ Gamma {\ huge (} \ dfrac {1} {2} {\ huge)} = \ sqrt {\ pi} [/ math]
[math] \ Gamma (p) \ Gamma (1-p) = \ dfrac {\ pi} {\ sin (\ pi p)} \ qquad {\ forall p \ epsilon (0,1)} [/ math]
Conversión de Beta a Gamma:
La conversión popular
[math] \ qquad \ qquad \ boxed {\ beta (m, n) = \ dfrac {\ Gamma (m). \ Gamma (n)} {\ Gamma (m + n)}} [/ math]
Al usar esto puedes resolver problemas muy complicados. Para esto puedes ver mis soluciones de estos problemas [math] 2 [/ math], obtendrás una idea sobre esto
- Respuesta de Rajdeep Biswas a ¿Qué es la integración [math] \ displaystyle \ int_0 ^ {2 \ pi} \ cos ^ {4} {x} \, dx [/ math]?
- La respuesta de Rajdeep Biswas a ¿Cuál será la respuesta para [math] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ 2 dx} {x ^ 4 + a ^ 4} [/ math]?
Conversión de estrella delta (Física eléctrica)
Esta es también una conversión muy fácil y poderosa para redes eléctricas, principalmente en los puentes de Wheatstone desbalanceados
Podemos cambiar estos dos circuitos uno del otro, que es
Dónde
[math] \ qquad \ qquad \ boxed {\ begin {matrix} P = \ dfrac {AB} {A + B + C} \\\\ Q = \ dfrac {AC} {A + B + C} \\\\ R = \ dfrac {BC} {A + B + C} \ end {matrix}} [/ math]
Y
[math] \ qquad \ qquad \ boxed {\ begin {matrix} A = P + Q + \ dfrac {PQ} {R} \\\\ B = P + R + \ dfrac {PR} {Q} \\\ \ C = R + Q + \ dfrac {RQ} {P} \ end {matrix}} [/ math]
Tenga en cuenta que [math] A, B, C, P, Q, R [/ math] son impedancias complejas . Así que estos serán [math] R [/ math], [math] j \ omega L [/ math] y [math] \ dfrac {1} {j \ omega C} [/ math] solamente o sus combinaciones
Ejemplo:
Un circuito conocido (todos los valores de resistencia están en ohmios)
Debe encontrar una resistencia equivalente entre [math] A [/ math] y [math] B [/ math] . Ya sabes la respuesta ya que es un puente de Wheatstone equilibrado . Pero cómo resolver el problema utilizando el método Star-Delta . Por favor siga los pasos
Paso 1:
Aquí convertiremos un delta a una estrella equivalente. Identificar el delta y las estrellas. Hay 2 deltas y una estrella en este circuito….
Los dos deltas son [math] ACD [/ math] y [math] BCD [/ math] y star es [math] ABCD [/ math]
Paso 2:
Elija el Delta apropiado y conviértalo en Star equivalente o Elija el Star apropiado y conviértalo en Delta equivalente, Para que el circuito pueda simplificarse …
Aquí elijo Delta [math] BCD [/ math]
Paso 3 :
Encuentra los valores de los parámetros estrella equivalentes
Aquí tienes que encontrar el valor de [math] R6 [/ math], [math] R7 [/ math] y [math] R8 [/ math]
Etapa 4 :
Calcule los parámetros de la fórmula de conversión de Star Delta
[math] R6 = \ dfrac {R2.R4} {R2 + R4 + R5} = \ dfrac {40.20} {40 + 20 + 30} = \ dfrac {80} {9} [/ math]
[math] R7 = \ dfrac {R2.R5} {R2 + R4 + R5} = \ dfrac {40.30} {40 + 20 + 30} = \ dfrac {40} {3} [/ math]
[math] R8 = \ dfrac {R4.R5} {R2 + R4 + R5} = \ dfrac {20.30} {40 + 20 + 30} = \ dfrac {20} {3} [/ math]
Asi que
Paso 5:
Dibuja el circuito final.
Entonces, la resistencia equivalente entre [math] A [/ math] y [math] B [/ math] es
[math] \ {(20 + \ dfrac {40} {3}) || (10 + \ dfrac {20} {3}) \} + \ dfrac {80} {9} [/ math]
[math] = \ {\ dfrac {100} {3} || \ dfrac {50} {3} \} + \ dfrac {80} {9} [/ math]
[math] = \ dfrac {100} {9} + \ dfrac {80} {9} = 20 [/ math]
Entonces la resistencia equivalente entre [math] A [/ math] y [math] B [/ math] es [math] 20 [/ math] ohm
También puedes probar la conversión de estrella a triángulo en el mismo circuito. Por favor, hágamelo saber en los comentarios si puede hacerlo o no. Lo subiré más tarde.
Puedes verificar la respuesta con el método que usaste. Revisalo….
……………………………………………………………………………………………………………… ..
Todo lo mejor para Jee Advanced 2017. Te estoy esperando.
