Lectura de autores pedagógicos rigurosos y clásicos. Me gusta Serge Lang de la generación anterior, Terrance Tao hace cosas similares hoy en su blog. Lang es bueno para todas las cosas simples, su generación formuló las matemáticas dentro de la teoría de conjuntos desde cero, en el proyecto Bourbaki, que esencialmente debería haber sido llamado el “proyecto Lang / Grothendieck”. Tao es bueno para cosas más modernas, porque generalmente bloguea como un preludio a algún trabajo original.
Lea TODOS los libros sobre un tema, siempre hay uno con una buena presentación diferente que todos los demás olvidaron o estandarizaron. Por ejemplo, las pruebas de “bisección” del teorema del valor intermedio y el teorema del valor medio son buenas, pero las pruebas modernas introducen conceptos de conjuntos de puntos como conectividad y compacidad. Los leí en libros de texto de cálculo del siglo XIX que acumulaban polvo en los estantes, pero dejaron en claro las ideas básicas. Para cosas más avanzadas, Milnor es bueno para la geometría de mediados del siglo XX.
Siempre es mejor leer literatura sobre un descubrimiento de la época en que se realizó el descubrimiento, no las “simplificaciones” y “generalizaciones” posteriores. Las generalizaciones primero oscurecen la idea básica, que siempre está clara originalmente, porque alguien tuvo que idearla, y luego las simplificaciones no simplifican la idea, simplifican las generalizaciones, que son oscurantistas. Así es como los libros de matemáticas se vuelven opacos, a través de una generalización demasiado precaria y simplificada de la generalización. No te preocupes por lo simple que es leer una prueba, preocupate por lo sencillo que es para el cerebro comprender.
Cuando se cumplen ambos criterios, cuando tiene una formulación simple y general, tiene lo que Erdos llamó una “prueba de libro”, una prueba del libro de teoremas de Dios. Nunca esté satisfecho hasta que sepa una prueba de libro para el teorema en cuestión.
Así que siempre, siempre, lea la literatura histórica. Es mucho más fácil que la literatura moderna, porque la gente en ese entonces era estúpida e ignorante (no es su culpa, todas las cosas interesantes se descubrieron más adelante), y puedes dominarlas más rápidamente. Esta es una buena práctica para dominar el idioma. la literatura moderna.
Debe aprender a “desempacar” las pruebas en la construcción involucrada, para saber lo que realmente están diciendo las pruebas. No es bueno memorizar la prueba, es necesario comprender la construcción, y esto motivará la prueba.
Daré un ejemplo de desempaque: considere la prueba del teorema de la curva de Jordan. Esto se demuestra en los libros modernos siempre de la misma manera: al señalar una paradoja con respecto a algunas homotopías (olvidé los detalles de las presentaciones estándar, pero recuerdo la idea, la desempaqué). La prueba es oscura, ¡tanto que los matemáticos lo consideran difícil! Dicen a los estudiantes que es un teorema difícil. No es difícil, es trivial.
Primero, debe probarlo usted mismo en el caso diferenciable (o lineal por partes), utilizando la demostración original de finales del siglo XIX. Si elige una línea aleatoria de un punto, el número de intersecciones con la curva es par o impar, de acuerdo con la insiditud o los outsidenes. Si cruza la curva, obviamente esto cambia en 1 unidad, y si cuenta las intersecciones por su “sentido” (la orientación por la que pasan), no puede tener un número de intersecciones que sea diferente de 0 o 1 sin la La curva tiene una autoinversión, como se puede ver girando la línea 360 grados y viendo cómo las intersecciones se unen y aniquilan (tienen que volver a su posición original al final). Esto es un boceto, pero es fácil completar una prueba en el caso diferenciable o lineal por tramos, y el método de deslizamiento de singularidad es una versión para bebés de construcciones posteriores más sofisticadas en una dimensión más alta utilizando la teoría de Morse, debido a smale, que demostró ser la Conjetura de Poincare de mayor dimensión.
¿Por qué no funciona esto como una prueba moderna? Debido a que el teorema también es válido para las curvas de Jordan continuas, que pueden ser muy salvajes, pueden tener una medida de Lebesgue positiva (otra construcción fácil del siglo XIX que debe hacer por usted mismo, es útil saber cómo construir una curva de relleno de espacio). Así que quieres una prueba que funcione para curvas de Jordan continuas, donde el número de intersecciones con una línea es genéricamente infinito.
El teorema moderno se prueba utilizando un método general que involucra grupos de homología que parecen complicados, pero solo porque se están generalizando a una dimensión arbitraria y a un formalismo general para obstrucciones. Si lees la prueba de Munkres, el único cálculo involucrado es el número de devanado de un mapa de un círculo a un círculo, que es un número entero, que te dice cuántas veces el mapa giró alrededor del círculo.
Así que la prueba real es solo una simple construcción de un número de bobinado ¿Qué es? Resulta que el número de curvas de una curva de Jordan alrededor de un punto puede verse fácilmente como 0 o 1, dependiendo de si el punto está “adentro” o “afuera”, y esto puede relacionarse fácilmente con la prueba de caso diferenciable. , porque este número de bobinado cambia de manera adecuada cuando se sigue una línea y se pasa una intersección (esto es fácil de probar). Así que esta es la generalización para el caso continuo.
Luego, puede probar explícitamente el teorema de la curva de Jordan de una manera fea utilizando el número de giro, y construir el número de giro usted mismo, usando su método favorito de cosecha propia. Esto hará que las pruebas en el libro de texto sean obvias e intuitivas, aunque serán molestas, porque pensarás que están ocultando algo simple sin ninguna buena razón.
Para generalizar a una dimensión superior, debe aprender a definir la homología, de modo que conozca la noción abeliana de sinuoso de esfera. Esto NO es equivalente a la clasificación de homotopía de esfera a esfera, pero es lo mismo cuando las esferas tienen la misma dimensión, y es lo “correcto” que se estudie de todos modos, en que es más regular, y cualquier cálculo de homotopía se realiza a través de Homología en cualquier caso. Cuando hayas terminado, tienes una prueba personal fea, pero este no es el objetivo principal. La prueba personal ha dejado en claro todo lo relacionado con la literatura, porque se ve que solo se está estandarizando la prueba personal para que se pueda aplicar sin pensar en una gran cantidad de casos, y de una manera que es completamente estándar entre diferentes autores.
Esto es lo que dificulta las matemáticas. Las ideas solo pueden descubrirse mediante un proceso personal de construcción desagradable y pruebas personales a medias, pero el resultado final es una elegante máquina, que puede aprender de forma parcial estudiando la prueba formal, sin entender nada de eso. . El objetivo de la educación matemática es obligarte a romper y reconstruir todos los teoremas por ti mismo.
La forma más fácil de hacer esto es simplemente explicar los teoremas a otros. Puede hacerlo a través de la enseñanza, también puede explicárselo usted mismo, cerrar el libro y presentar el teorema por su cuenta, sin notas.
Los matemáticos ocultan sus conceptos a través de este mecanismo, pero esperan que los demás desentiendan sus teoremas, reconstruyéndolos ellos mismos. Los matemáticos también tienen algunas presentaciones históricas, que ayudan con las cosas que han adquirido ofuscación moderna.
Además, no debes molestarte con algunos teoremas que son simplemente un trabajo de imitación. Por ejemplo, en la teoría de nudos, hay una noción de “isotopía” que es difícil de precisar, pero cuyo único propósito es probar que los movimientos de reidemeister están bien para calcular los movimientos de nudos. Debe aprender a hacer el caso diferenciable, porque es fácil y es lo que motiva, pero las generalizaciones al caso continuo no son tan perspicaces, y en general sirven como trabajo de reparación para los matemáticos que en este momento no pueden encontrar un Idea Nueva.
También necesitas superar la joroba de la mierda política. Así que necesitas aprender infinitesimales, matemáticas constructivas / soviéticas, análisis ordinales y todas las cosas secretas que están políticamente ocultas. Pero esto no lleva mucho tiempo. También debe confiar en su propia intuición, porque es fácil nevar a una persona con muchos símbolos complicados que no significan nada. Si eres intelectualmente honesto, es fácil hacer preguntas y descubrir qué significa el galimatías, y luego deja de ser un galimatías.
