Una estadística de prueba es un valor estandarizado que se calcula a partir de datos de muestra durante una prueba de hipótesis. Puede usar las estadísticas de prueba para determinar si rechazar la hipótesis nula. La estadística de prueba compara sus datos con lo que se espera bajo la hipótesis nula. El estadístico de prueba se utiliza para calcular el valor de p.
Un estadístico de prueba mide el grado de acuerdo entre una muestra de datos y la hipótesis nula. Su valor observado cambia aleatoriamente de una muestra aleatoria a una muestra diferente. Una estadística de prueba contiene información sobre los datos que son relevantes para decidir si rechazar la hipótesis nula. La distribución muestral del estadístico de prueba bajo la hipótesis nula se denomina distribución nula. Cuando los datos muestran pruebas sólidas contra los supuestos en la hipótesis nula, la magnitud del estadístico de prueba se vuelve demasiado grande o demasiado pequeña dependiendo de la hipótesis alternativa. Esto hace que el valor p de la prueba sea lo suficientemente pequeño como para rechazar la hipótesis nula.
Por ejemplo, la estadística de prueba para una prueba Z es la estadística Z, que tiene la distribución normal estándar bajo la hipótesis nula. Suponga que realiza una prueba Z de dos colas con un α de 0.05 y obtiene una estadística Z (también llamada valor Z) basada en sus datos de 2.5. Este valor Z corresponde a un valor p de 0.0124. Debido a que este valor p es menor que α, declara significancia estadística y rechaza la hipótesis nula.
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Las diferentes pruebas de hipótesis utilizan diferentes estadísticas de prueba basadas en el modelo de probabilidad asumido en la hipótesis nula. Las pruebas comunes y sus estadísticas de prueba incluyen:
Ejemplo 11.9. Artistas zurdos: (continuación del ejemplo 11.2)
Alrededor del 10% de la población humana es zurda. Un investigador de Penn State especula que los estudiantes de la Facultad de Artes y Arquitectura tienen más probabilidades de ser zurdos que las personas de la población general. Se obtuvo una muestra aleatoria de 100 estudiantes en la Facultad de Artes y Arquitectura y se encontró que 18 de estos estudiantes eran zurdos.
Pregunta de investigación : ¿Es más probable que los artistas sean zurdos que las personas de la población general?
Paso 1: Estado nulo y hipótesis alternativas.
- Hipótesis nula : proporción de población de estudiantes zurdos en la Facultad de Arte y Arquitectura = 0.10 ( p = 0.10).
- Hipótesis alternativa : proporción de población de estudiantes zurdos en la Facultad de Arte y Arquitectura> 0.10 ( p > 0.10).
Ahora que conoce la hipótesis nula y alternativa, ¿pensó en cuáles son los errores de tipo 1 y tipo 2? Es importante tener en cuenta que el Paso 1 es antes de que incluso recopilemos datos. La identificación de estos errores ayuda a mejorar el diseño de su estudio de investigación. Vamos a escribirlos:
Error de tipo 1: los artistas de reclamaciones tienen más probabilidades de ser zurdos que las personas de la población general, cuando en realidad no son más probables.
Error de tipo 2: no afirmar que los artistas tienen más probabilidades de ser zurdos que las personas de la población general, cuando en realidad son más probables.
En este caso, las consecuencias de estos dos errores son bastante similares (por ejemplo, instalar más o menos escritorios para zurdos en las aulas de lo necesario).
Paso 2: Recopile y resuma los datos para poder calcular una estadística de prueba.
En la muestra de 100 estudiantes enumerados anteriormente, la proporción de la muestra es 18/100 = 0.18. La prueba de hipótesis determinará si la hipótesis nula de que p = 0.1 proporciona o no una explicación plausible para los datos. Si no, veremos esto como evidencia de que la proporción de estudiantes zurdos en Arte y Arquitectura es mayor que 0.10.
Si la hipótesis nula es cierta, entonces el eroor estándar de la proporción de la muestra sería 0.1 (1−0.1) 100 −−−−−−−−−√ = 0.03 [math] 0.1 (1−0.1) 100 = 0.03 [/ math] y La proporción muestral seguiría la curva normal. Por lo tanto, podemos usar la puntuación estándar z = (0.18-0.10) / 0.03 = 2.67 como nuestra estadística de prueba.
Paso 3: Usa la estadística de prueba para encontrar el valor p .
Usando la tabla de curvas normales para el valor Z de 2.67, encontramos que el valor p es aproximadamente 0.004. Observe que la hipótesis alternativa de un solo lado dice que vigilar los valores grandes, por lo que observamos el porcentaje de la curva normal por encima de 2.67 para obtener el valor p .
Interpretación del valor p . La probabilidad de obtener nuestra estadística de prueba de 2,67 o un valor superior, si en realidad la hipótesis nula es verdadera, es de 0.004.
Paso 4: Tome una decisión usando el valor p .
Como el valor p de 0.004 es tan pequeño, la hipótesis nula proporciona una explicación muy pobre de los datos. Encontramos buena evidencia de que la proporción de la población de estudiantes zurdos en el Colegio de Arte y Arquitectura supera los 0.10.
Ahora que hemos tomado nuestra decisión, solo corremos el riesgo de cometer un error de tipo 1. En este punto no es posible cometer un error de tipo 2 porque rechazamos la hipótesis nula.
Ejemplo 11.10. El peso de las papas fritas de McDonald’s en Japón
Después de recibir las quejas de los clientes de McDonald’s en Japón sobre la cantidad de papas fritas servidas, la revista de noticias en línea “Rocket News” decidió probar la cantidad real de papas fritas servidas en un restaurante japonés de McDonald’s en particular. Según el artículo de Rocket News, el estándar oficial de peso establecido por McDonald’s de Japón es que las papas fritas de tamaño mediano pesen 135 gramos. La publicación pesó las papas fritas de diez papas medianas diferentes que compraron y encontró que el peso promedio de las papas en su muestra era de 130 gramos con una desviación estándar de 9 gramos.
Pregunta de investigación : ¿Los datos sugieren que las papas fritas de este McDonald’s en Japón están mal empaquetadas?
Paso 1: Estado nulo y hipótesis alternativas.
- Hipótesis nula: peso medio de la población de papas fritas medianas = 135 gramos
- Hipótesis alternativa: peso medio de la población de papas fritas medianas <135 gramos
Paso 2: Recopile y resuma los datos para poder calcular una estadística de prueba.
El peso medio de la muestra fue de 130 gramos. Además, la desviación estándar de la muestra fue de 9 gramos, por lo que se encuentra que el error estándar de la media es 910√ = 2.85 [math] 910 = 2.85 [/ math] gramos. El estadístico de prueba sería el valor estandarizado (130-135) / 2.85 = -1.76.
Paso 3: Usa la estadística de prueba para encontrar el valor p .
Dado que el tamaño de la muestra es solo de 10, la desviación estándar de la muestra sería una estimación poco confiable de la desviación estándar de la población, por lo que la curva normal no sería apropiada para usar como la distribución de referencia para encontrar el valor p . En este caso, la curva t se usaría en su lugar y resulta que el porcentaje de una curva t por debajo de -1.76 cuando tiene un tamaño de muestra de 10 es de aproximadamente el 6%.
Interpretación del valor p . La probabilidad de obtener nuestra estadística de prueba de -1,76 o cualquier valor menor, si en realidad la hipótesis nula es cierta, es aproximadamente del 6%.
Paso 4: Tome una decisión usando el valor p .
Dado que el valor p es de alrededor del 6%, estamos cerca del límite de lo que las personas a menudo usan como límite para declarar un resultado significativo. Dada la cantidad de variabilidad de un paquete de papas a otra, existe una posibilidad razonable de que veamos un promedio de muestra como este, incluso si el restaurante cumpliera con el peso estándar oficial en promedio.
Es importante recordar, al llevar a cabo la mecánica de una prueba de significación, que solo está haciendo un cálculo de probabilidad suponiendo que la hipótesis nula es cierta . Debido a que el cálculo se realiza bajo ese supuesto, no puede decir nada sobre las posibilidades de que la hipótesis nula o la hipótesis alternativa sean ciertas.
