Los primeros veinte dígitos son 26200363445633352842 y los últimos veinte dígitos son 31817250669755105281 .
Los últimos dígitos son simples. Para el último dígito, todo lo que necesita es calcular [math] 2017 ^ {2016 ^ {2015}} \ bmod 10 = 7 ^ {2016 ^ {2015}} \ bmod 10 [/ math], que es realmente fácil de hacer A mano por cómo se comportan los poderes de 7 módulo 10.
Pero con una computadora podemos obtener más fácilmente. El número [math] 2016 ^ {2015} [/ math] es pequeño, por lo que podemos evaluarlo exactamente y luego calcular [math] 2017 [/ math] con ese poder, pero esta vez calculamos el módulo [math] 10 ^ { 20} [/ math] y usando un algoritmo más inteligente. De esta manera podemos descubrir que los últimos 20 dígitos de nuestro número son [math] 31817250669755105281 [/ math].
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Los primeros dígitos también son simples. Bueno, algo así. La observación clave aquí es que [math] x [/ math] y [math] x / 10 [/ math] tienen los mismos dígitos (solo el punto decimal se desplaza), y sus logaritmos de base 10 (es decir, [math] \ log_ {10} (x) [/ math] y [math] \ log_ {10} (x / 10) [/ math]) difieren exactamente en 1. Deje que [math] f = \ {\ log_ {10} x \ } [/ math] sea la parte fraccionaria (es decir, no entera) de [math] \ log_ {10} x [/ math]. Claramente, el número [math] 10 ^ f [/ math] tiene los mismos dígitos que [math] x [/ math], la única diferencia es que el punto decimal ahora aparece justo después del primero de esos dígitos.
Por lo tanto, podemos calcular los primeros dígitos de [math] x [/ math] al calcular un valor aproximado de [math] f [/ math] y luego usarlo para obtener un valor aproximado de [math] 10 ^ f [/ mates].
En nuestro caso, el valor que necesitamos es la parte fraccionaria del número [math] \ log_ {10} \ left (2017 ^ {2016 ^ {2015}} \ right) = 2016 ^ {2015} \ log_ {10} 2017 [/mates].
Esto se vuelve un poco complicado debido al tamaño de los números involucrados. El número [math] 2016 ^ {2015} [/ math] tiene más de [math] 6600 [/ math] dígitos, por lo que necesitamos evaluar [math] \ log_ {10} 2017 [/ math] significativamente más que [ math] 6600 [/ math] lugares decimales para obtener algunos dígitos correctos después del punto decimal de [math] 2016 ^ {2015} \ log_ {10} 2017 [/ math].
Una vez que lo hagamos, obtendremos que la parte fraccionaria es [math] f \ approx 0.418307 [/ math]. Usando un valor más preciso de [math] f [/ math], podemos calcular que [math] 10 ^ f \ approx 2.6200363445633352842 [/ math].
