Cómo resolver esta ecuación cuadrática de nivel JEE

La respuesta es opción (a).

si x <0 que claramente la expresión dada es positiva.

si x> 0 que x ^ 8 + x ^ 2-x ^ 5> x ^ 5. por AM-GM.
también para x> 1 x ^ 5> x.

si 0 0

por lo que la expresión dada es siempre positiva.

En momentos en los que no está seguro de cómo factorizar la función y / o no tiene tiempo para hacerlo, el golpe inteligente y la prueba pueden salvar su vida:
Teniendo en cuenta esta función,
Para los números -ve es trivialmente positivo ya que los 5 términos son + ve para los números negativos.
Para 0, nuevamente es trivialmente positivo.
Para los números + ve podemos tener 2 opciones, x <1 en la que las potencias más bajas tendrán una magnitud más alta y x> 1 cuando las potencias más altas tendrán una magnitud más alta. (Para 1, otra vez es trivialmente + ve)
Para el caso 1: 1> x y x ^ 2> x ^ 5, así que incluso sin tener en cuenta x ^ 8, la función es + ve.
Para el caso 2: x ^ 8> x ^ 5 y x ^ 2> x, así que incluso sin tener en cuenta 1, la función es + ve.

Cuando x pertenece a R … o bien x = 0 o (-x) y x.
Si x = 0., es obvio que la respuesta es positiva.
Cuando x = -x (es decir, cualquier valor negativo) ..
X ^ 8-x ^ 5 + x ^ 2-x + 1 toda la ecuación será positiva porque … x ^ 8 será positivo y x ^ 5 nos dará un valor negativo, pero se multiplica por el signo negativo y se vuelve positivo . (lo mismo sigue para x)
Y x ^ 2 es un valor positivo. Por lo tanto el valor será positivo.
Cuando x es un valor positivo.
Nuevamente la respuesta será positiva.
Por eso es positivo.

Siempre es positivo.
PD: En estas situaciones en las que no puedo resolverlo, solo pon 3 valores (-1, 0, 1) o como máximo (2, 3, -2, -3) para demostrar algo como esto.