George, gracias por A2A. Hay un método absolutamente banal de cómo mostrar este tipo de cosas llamadas inducción matemática.
Solo podemos mostrar:
[math] \ displaystyle 1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} – \ frac {1} {4} + \ ldots + \ frac {1} {2n-1} – \ frac {1} {2n} = \ frac {1} {n + 1} + \ frac {1} {n + 2} + \ ldots + \ frac {1} {2n} [/ math]
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Para [math] n = 1 [/ math] esto es cierto ya que [math] 1 – \ frac {1} {2} = \ frac {1} {2}. [/mates]
Supongamos que esto es cierto para [math] n \ leq k [/ math].
Lo mostramos para [math] n = k + 1 [/ math].
Observe cómo LHS y RHS cambian a medida que pasamos de [math] k [/ math] a [math] k + 1 [/ math].
Deberíamos agregar [math] \ displaystyle 1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} – \ frac {1} {4} + \ ldots + \ frac {1} {2n-1} – \ frac {1} {2n} = \ frac {1} {2 (k + 1) -1} – \ frac {1} {2 (k + 1)} = \ frac {1} {2k + 1} – \ frac {1} {2k + 2} [/ math]
a la LHS.
Para obtener el RHS para [math] n = k + 1 [/ math] debemos agregar [math] \ frac {1} {2k + 1} [/ math] y [math] \ frac {1} {2k + 2 } [/ math] y restar [math] \ frac {1} {k + 1} [/ math], es decir
[math] \ displaystyle 1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} – \ frac {1} {4} + \ ldots + \ frac {1} {2n-1} – \ frac {1} {2n} = \ frac {1} {2k + 1} + \ frac {1} {2k + 2} – \ frac {1} {k + 1} = \ frac {1} {2k + 1} – \ frac {1} {2k + 2} [/ math] [math] [/ math]
Así, en cada paso de inducción, LHS y RHS cambian por el mismo valor.
Así que hemos terminado.
Ahora elija [math] n = 1007 [/ math] y obtenga la declaración requerida.
Actualización : Por supuesto, uno puede verlo directamente así como sugerido por otros.
Observe que [math] \ displaystyle 1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} – \ frac {1} {4} + \ ldots + \ frac {1} {2n-1} – \ frac {1} {2n} = \ frac {1} {n + 1} + \ frac {1} {n + 2} + \ ldots + \ frac {1} {2n} [/ math] es la diferencia entre los primeros términos [math] 2n [/ math] y los primeros [math] n [/ math] de la serie armónica, es decir
[math] \ displaystyle 1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} – \ frac {1} {4} + \ ldots + \ frac {1} {2n-1} – \ frac {1} {2n} = \ frac {1} {n + 1} + \ frac {1} {n + 2} + \ ldots + \ frac {1} {2n} = \ sum_ {i = 1} ^ { 2n} \ frac {1} {i} – \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {1} {i}. [/mates]
Escritura
[math] \ displaystyle 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ ldots + \ frac {1} {2n-1} + \ frac {1} {2n} = \ sum_ {i = 1} ^ {2n} \ frac {1} {i} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {1} {2i-1} + \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {1} {2i}. [/ math]
y
[math] \ displaystyle 1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} – \ frac {1} {4} + \ ldots + \ frac {1} {2n-1} – \ frac {1} {2n} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {1} {i} -2 \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {1} {2i}. [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas]
Obtienes la declaración requerida de inmediato.
