Como dirían muchos instructores de cálculo, no existe un enfoque único para resolver integrales. Sin embargo, eso no quiere decir que una estrategia múltiple no sea posible.
Para empezar, podemos comenzar por construir un repertorio interno de integrales que podamos entender fácilmente:
- [math] \ displaystyle \ int x ^ n \, dx = \ frac {x ^ {n + 1}} {n + 1} [/ math] ([math] n \ ne -1 [/ math])
- [math] \ displaystyle \ int \ frac {1} {x} \, dx = \ ln | x | [/ math]
- Integrales de las seis funciones trigonométricas (es decir, [math] \ displaystyle \ int \ tan x \, dx = \ ln | \ cos x | [/ math])
- Integrales de funciones exponenciales y logaritmos.
- [math] \ displaystyle \ int \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} \, dx = \ arcsin x [/ math]
- [math] \ displaystyle \ int \ frac {1} {1 + x ^ 2} = \ arctan x [/ math]
- [math] \ displaystyle \ int \ frac {1} {| x | \ sqrt {x ^ 2-1}} = \ text {arcsec} x [/ math]
- Integrales de funciones hiperbólicas.
Una vez allí, podemos ampliar nuestro poder de integración conociendo las propiedades básicas de las integrales :
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- [math] \ displaystyle \ int f \ pm g = \ int f \ pm \ int g. [/ math]
- [math] \ displaystyle \ int kf = k \ int f. [/ math]
- [math] \ displaystyle \ int_a ^ cf (x) dx = \ int_a ^ bf (x) dx + \ int_b ^ cf (x) dx. [/ math]
- Para una función impar [math] f [/ math], [math] \ displaystyle \ int _ {- a} ^ af (x) dx = 0 [/ math].
- Para una función simétrica sobre [math] c [/ math], [math] \ displaystyle \ int_ {ch} ^ {c + h} f (x) \, dx = 2 \ int_c ^ {c + h} f (x ) \, dx [/ math]
Pero entonces, la verdadera novedad en la integración reside en dominar una serie de técnicas clave de integración :
- Sustitución general (incluida la repetición de la misma y la versión que también sustituye los límites de la integración)
- Regla de cadena inversa (para funciones de la forma [math] \ displaystyle f (g (x)) g ‘(x) [/ math])
- Sustitución trigonométrica (por ejemplo, [math] \ displaystyle \ sin ^ mx \ cos ^ nx [/ math], [math] \ displaystyle \ tan ^ mx \ sec ^ nx [/ math], [math] \ displaystyle \ cot ^ mx \ csc ^ nx [/ math])
- Sustitución retroactiva trigonométrica (para funciones que incluyen términos como [math] \ displaystyle \ sqrt {a ^ 2-x ^ 2} [/ math], [math] \ displaystyle a ^ 2 + x ^ 2 [/ math] y [math ] \ displaystyle x ^ 2 – a ^ 2 [/ math])
- Iteraciones simples / repetidas de fracciones parciales (por ejemplo, productos de polinomios , funciones exponenciales / logarítmicas y funciones trigonométricas )
- Método de superación
En muchos casos, las aplicaciones de estas técnicas pueden facilitarse mediante el uso inteligente de algunas identidades y tácticas de manipulación algebraica :
- [math] \ displaystyle \ ln (ab) = \ ln a + \ ln b [/ math]
- Identidades trigonométricas básicas (es decir, [math] \ displaystyle \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1 [/ math], [math] \ displaystyle \ tan ^ 2 \ theta + 1 = \ sec ^ 2 \ theta [/ math])
- Fórmulas de doble ángulo
- Completando el cuadrado
- Factorización cuadrática
Entonces, como puede ver aquí, la integración se basa en muchas habilidades auxiliares tanto del pasado como del presente. En su núcleo, la integración de la masterización se reduce al reconocimiento de patrones. Es decir, reconocer las diferentes funciones y los consejos / trucos que se pueden utilizar para integrarlos. De hecho, las habilidades y la intuición detrás del reconocimiento de patrones se desarrollan principalmente a través de exposiciones repetidas e intentos de generalización .
Dada su amplia naturaleza, por lo tanto, no es de extrañar por qué muchos entusiastas de las matemáticas se entusiasman con la resolución de integrales como una forma de afilar su “hacha matemática”. De hecho, incluso hay competiciones como Integration Bee que se organizan cada año en todo EE. UU. Y en otros países para promover esta cultura de resolución de problemas.
